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Es seien
U
,
V
,
W
{\displaystyle U,\ V,\ W\,}
die Componenten eines Vectorpotentiales, welches von geschlossenen Strömen herrührt, die ganz oder theilweise im Innern der Kugel liegen. Wir suchen die von
U
,
V
,
W
{\displaystyle U,\ V,\ W\,}
inducirten Ströme
u
′
,
v
′
,
w
′
.
{\displaystyle u',\ v',\ w'.\,}
Für dieselben bestehen die Gleichungen:
[1]
ϰ
u
′
=
−
∂
φ
∂
x
+
ω
x
(
∂
V
∂
x
−
∂
U
∂
y
)
ϰ
v
′
=
−
∂
φ
∂
y
+
ω
y
(
∂
V
∂
x
−
∂
U
∂
y
)
ϰ
w
′
=
−
∂
φ
∂
z
−
ω
x
(
∂
W
∂
y
−
∂
V
∂
z
)
−
ω
y
(
∂
U
∂
z
−
∂
W
∂
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varkappa u'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+\omega x\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\\\varkappa v'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+\omega y\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)\\\varkappa w'&=-{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}-\omega x\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)-\omega y\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)\end{aligned}}\,}
ferner im Innern:
∂
u
∂
x
+
∂
v
∂
y
+
∂
w
∂
z
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0,\,}
und an der Oberfläche:
u
x
+
v
y
+
w
z
=
0.
{\displaystyle ux+vy+wz=0.\,}
Wir setzen zur Abkürzung
O
=
x
(
∂
W
∂
y
−
∂
V
∂
z
)
+
y
(
∂
U
∂
z
−
∂
W
∂
x
)
+
z
(
∂
V
∂
x
−
∂
U
∂
y
)
.
{\displaystyle O=x\left({\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)+y\left({\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}\right)+z\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right).\,}
Unter Beachtung des Umstandes, dass
∂
U
∂
x
+
∂
V
∂
y
+
∂
W
∂
z
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}=0\,}
ist, erhalten wir nun für
φ
{\displaystyle \varphi \,}
die Bedingungen:
In der Masse der Hohlkugel:
Δ
φ
=
2
ω
(
∂
V
∂
x
−
∂
U
∂
y
)
+
ω
(
x
Δ
V
−
y
Δ
U
)
,
{\displaystyle {\mathit {\Delta }}\varphi =2\omega \left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)+\omega (x{\mathit {\Delta }}V-y{\mathit {\Delta }}U),\,}
und an der Grenze
∂
φ
∂
ϱ
=
ω
ϱ
{
ϱ
2
(
∂
V
∂
x
−
∂
U
∂
y
)
−
z
O
}
.
{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}={\frac {\omega }{\varrho }}\left\lbrace \varrho ^{2}\left({\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}\right)-zO\right\rbrace .\,}
[2] Wir beweisen zunächst den folgenden Satz:
Haben
U
V
W
{\displaystyle U\ V\ W\,}
die Form:
↑ Die Differentialgleichungen. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
↑ Satz, welcher die Grundlage des Folgenden bildet. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.