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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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ferner:

${\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial x}}-{\frac {\partial U}{\partial y}}&=-m\varrho ^{m-2}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)-\varrho ^{m}(n+1){\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\\{\frac {\partial W}{\partial y}}-{\frac {\partial V}{\partial z}}&=-m\varrho ^{m-2}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}-nx\chi _{n}\right)-\varrho ^{m}(n+1){\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}\\{\frac {\partial U}{\partial z}}-{\frac {\partial W}{\partial x}}&=-m\varrho ^{m-2}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}-ny\chi _{n}\right)-\varrho ^{m}(n+1){\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}.\end{aligned}}\,$

Daraus folgt:

$O=-n(n+1)\varrho ^{m}\chi _{n}.\,$

Also werden die Bedingungen für $\varphi \,$:

${\begin{aligned}{\mathit {\Delta }}\varphi =&-\omega m(m+2n+3)\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)\varrho ^{m-2}\\&-2\omega (n+1)\varrho ^{m}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}};\end{aligned}}\,$

an der Grenze:

${\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}=-(m+n+1){\frac {\omega }{\varrho }}\varrho ^{m}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right).\,$

Diesen Bedingungen aber genügt $\varphi ,\,$ denn es ist

erstens:

${\begin{aligned}{\mathit {\Delta }}\varphi =&-\omega \left[{\mathit {\Delta }}\left(\varrho ^{m+2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\right)-2n{\frac {\partial }{\partial z}}(\varrho ^{m}\chi ^{n})-nz{\mathit {\Delta }}(\varrho ^{m}\chi ^{n})\right]\\=&-\omega \left\lbrace \varrho ^{n}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}[(m+2)(m+2n+1)-2n]\right.\\&\left.-nz\varrho ^{m-2}\chi _{n}[m(m+2n+1)+2m]\right\rbrace \\=&-\omega \left\lbrace m(m+2n+3)\varrho ^{m-2}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)\right.\\&\left.+2(n+1)\varrho ^{n}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\right\rbrace ,\end{aligned}}\,$

wonach die erste Bedingung erfüllt ist;

zweitens ist $\varphi \,$ das Produkt aus einer Funktion der Winkel und $\varrho ^{m+n+1},\,$ also

${\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}={\frac {m+n+1}{\varrho }}\varphi ,\,$

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 34. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_035.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)