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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Die Form der Funktionen $\varphi _{1}\,$ und $\varphi _{2}\,$ hängt also nur ab von $n,\,$ in den Integrationsconstanten kommen dann allerdings noch $\mu ,\ s\,$ und $S\,$ vor.

Obige Gleichungen können geschrieben werden:

${\begin{aligned}\varphi ''_{1}+{\frac {2n+2}{\sigma }}\varphi '_{1}&=-&\varphi _{2}\\\varphi ''_{2}+{\frac {2n+2}{\sigma }}\varphi '_{1}&=&\varphi _{1}.\end{aligned}}\,$

Als Differentialgleichungen können dieselben vollständig ersetzt werden durch die folgenden:

$\varphi _{2}=\pm \varphi _{1}{\sqrt {-1}}\,$

$\varphi ''_{1}+{\frac {2n+2}{\sigma }}\varphi '_{1}\pm \varphi _{1}{\sqrt {-1}}=0.\,$

Denn alle Lösungen der letzteren befriedigen erstere, und die allgemeine Lösung der letzteren enthält $2\times 2\,$ willkürliche Constanten, ist also auch die allgemeine Lösung der ersteren.

Setzen wir $\lambda ^{4}=-1,\,$ und verstehen insbesondere unter $\lambda \,$ diejenigen Wurzeln dieser Gleichung, deren reeller Theil positiv ist, also

${\begin{aligned}\lambda _{1}&={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}(1+{\sqrt {-1}})\\\lambda _{2}&={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}(1-{\sqrt {-1}}),\end{aligned}}\,$

so werden unsere Gleichungen:

$\varphi _{2}=-\lambda ^{2}\varphi _{1}\,$

$\varphi ''_{1}+{\frac {2n+2}{\sigma }}\varphi '_{1}-\lambda ^{2}\varphi _{1}=0.\,$

Die beiden particulären Integrale derselben sind:

$\int \limits _{-1}^{+1}(1-v^{2})^{n}e^{\sigma \lambda v}\,dv,\quad \int \limits _{1}^{\infty }(1-v^{2})^{n}e^{-\sigma \lambda v}\,dv,\,$

gültig für reelle positive $\sigma .\,$

Dass diese Integrale die Gleichungen befriedigen, wird etwas weiter unten gezeigt werden. Da in unserm Falle $n\,$ eine ganze Zahl ist, so lassen sich die Integrale ausführen und also das Resultat der Auflösung in endlicher geschlossener

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 41. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_042.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)