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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Dann sind auch $q\,$ mit negativem Argument zulässig, und es gilt die Gleichung

$-p_{n}(\varrho )=q_{n}(\varrho )+q_{n}(-\varrho ),\,$

aus welcher folgt, dass

$p_{n}(\varrho )=p_{n}(-\varrho ).\,$

Denn sei, unbestimmt ausgeführt

$\int (1-v^{2})^{n}e^{-\sigma v}\,dv=V(\sigma ,v),\,$

dann ist

${\begin{aligned}q_{n}(\sigma )&=V(\sigma ,\infty )-V(\sigma ,1)\\p_{n}(\sigma )&=\int \limits _{0}^{1}(1-v^{2})^{n}e^{-\sigma v}\,dv+\int \limits _{0}^{1}(1-v^{2})e^{\sigma v}\,dv\\&=V(-\sigma ,1)-V(-\sigma ,0)+V(\sigma ,1)-V(\sigma ,0).\end{aligned}}\,$

Aber es ist für ganze

$V(\sigma ,\infty )=0,\quad V(-\sigma ,0)=-V(\sigma ,0),\,$

und so folgt die Behauptung.

Die einfachsten Integrale der ursprünglichen Differentialgleichung sind also:

$q_{n}(\sigma )\,$ und $q_{n}(-\sigma ).\,$

Folgendes sind die Werthe der ersten $q,\,$ von welchen der erste direct, die übrigen durch Recursion bestimmt sind:

[1]

${\begin{aligned}q_{0}&=&&{\frac {e^{-\sigma }}{\sigma }}\\q_{1}&=&-&{\frac {2e^{-\sigma }}{\sigma ^{2}}}\left(1+{\frac {1}{\sigma }}\right)\\q_{2}&=&&{\frac {2\cdot 2!\cdot e^{-\sigma }}{\sigma ^{3}}}\left(1+{\frac {3}{\sigma }}+\sigma {3}{\sigma ^{2}}\right)\\q_{3}&=&-&{\frac {2\ 3!\cdot e^{-\sigma }}{\sigma ^{4}}}\left(1+{\frac {6}{\sigma }}+{\frac {15}{\sigma ^{2}}}+{\frac {15}{\sigma ^{3}}}\right)\end{aligned}}\,$

etc.,

woraus also folgt:

---

1. Die ersten $q.\,$ WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 46. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_047.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)