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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Da $S\,$ nicht sehr nahe gleich $s,\,$ beide aber sehr gross sein sollen, so verschwindet im Nenner das zweite Glied gegen das erste, und es wird

$\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}={\frac {2n+1}{\lambda S}}\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+1}e^{-\lambda \mu (R-r)}(e^{\lambda \mu (\varrho -r)}+e^{-\lambda \mu (\varrho -r)}).\,$

Das zweite Glied der Parenthese verschwindet gegen das erste, ausser wenn $\varrho =r\,$ ist, verzichten wir daher auf eine genaue Kenntniss der Strömung an der innern Grenze, so können wir setzen:

$\varphi _{1}+\varphi _{2}{\sqrt {-1}}={\frac {2n+1}{\lambda S}}\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+1}e^{-\lambda \mu (R-\varrho )}.\,$

Da $s\,$ oder $r\,$ aus dieser Gleichung verschwunden ist, so ist anzunehmen, dass sie auch für Vollkugeln Gültigkeit hat, in der That ergiebt sie sich leicht aus den für Vollkugeln geltenden exacten Formeln, wenn man ähnliche Vernachlässigungen macht, wie die oben ausgeführten, und auf eine genaue Kenntniss der Strömung im Centrum verzichtet, (wo übrigens die Intensität sehr klein ist).

In den erhaltenen Ausdrücken ist

$\lambda ={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}(1+{\sqrt {-1}});\,$

ohne die Sonderung des Imaginären und Reellen auszuführen finden wir leicht:

${\text{arc tg}}\ {\frac {f_{2}}{f_{1}}}=-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(R-\varrho )\,$

${\sqrt {f_{1}^{2}+f_{2}^{2}}}={\frac {2n+1}{\mu }}{\frac {R^{n}}{\varrho ^{n+1}}}e^{-{\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(R-\varrho )}.\,$

Setzt man diese Ausdrücke in $\psi \,$ ein, so erhält man

$\psi =-{\frac {2n+1}{2(n+1)}}A{\sqrt {\frac {i\omega }{\varkappa \pi }}}e^{-{\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(R-\varrho )}\sin \left(i\omega <{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(R-\varrho )\right),\,$

welches also diejenige Strömungsfunktion ist, die bei sehr grossen Drehungsgeschwindigkeiten von der äussern Potentialfunktion

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 51. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_052.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)