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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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gebildet. Bei der Integration geben diejenigen Glieder, welche Producte aus Kugelfunktionen verschiedener Ordnung sind, das Resultat $0,\,$ wir können also für jedes $\psi _{n}\,$ das entsprechende $W_{n}\,$ besonders bestimmen und die Resultate addiren. Eine nähere Betrachtung zeigt dann, dass wir auch für jedes $\psi _{ni}\,$ die Wärme besonders berechnen und die Resultate addiren können. Es werden allerdings nicht alle Integrale, welche Combinationen aus verschiedenen $\psi _{i}\,$ entsprechen, gleich Null werden; aber die Integrale in $\int u^{2}\,ds,\,$ für welche dies eintritt, werden sich gegen ihnen gleiche in $\int v^{2}\,ds\,$ aufheben.

Für das oben angegebene $\psi _{ni}\,$ erhalten wir nun:

$W_{ni}=k\int (u^{2}+v^{2}+w^{2})\,ds\,$

$={\frac {kA^{2}}{2R^{2}}}\left\lbrace \int (\cos(i+1)\omega \ P_{ni})^{2}\,ds\right.\,$

${\begin{aligned}&+(n+i)^{2}(n-i+1)^{2}\int (\cos(i-1)\omega \ P_{n,i-1})^{2}\,ds\\&+\left.2i^{2}\int (\cos i\omega \ P_{ni})^{2}\ ds\right\rbrace ,\end{aligned}}\,$

was nach bekannten Formeln und einfachen Reductionen ergiebt:

${\begin{aligned}W_{ni}&=kA^{2}\cdot {\frac {2\pi n(n+1)}{2n+1}}(n-i+1)(n-i+2)\ldots (n+i)\\&=kA^{2}(n,i),\end{aligned}}\,$

wo jetzt $(n,i)\,$ eine leicht verständliche Abkürzung ist. Da wir weiter haben:

$W=\sum _{n}\sum _{i}W_{ni}\,$

so ist unsere Aufgabe gelöst. Man erkennt leicht, dass dem Resultat die Formen gegeben werden können:

$W={\frac {k}{R^{2}}}\sum _{n}n(n+1)\sum _{i}\int \psi _{ni}^{2}\,ds\,$

oder

$W={\frac {k}{R^{2}}}\sum _{n}n(n+1)\int \psi _{n}^{2}\,ds.\,$

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 60. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_061.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)