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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Das Integral kann ausgeführt werden für kleine und für grosse Drehungsgeschwindigkeiten. Für erstere ist $f_{1}=1,\ f_{2}=0,\,$ ^[1] und es wird daher die erzeugte Wärme in diesem Fall:

$W_{ni}=A^{2}{\frac {R^{3}\omega ^{2}}{\varkappa }}{\frac {i^{2}(n,i)}{(n+1)^{2}(2n+3)}}\left(1-\left({\frac {r}{R}}\right)^{2n+3}\right).\,$

Für sehr grosse Drehungsgeschwindigkeiten hingegen war

$f_{1}^{2}+f_{2}^{2}={\frac {(2n+1)^{2}}{\mu ^{2}}}{\frac {R^{2n}}{\varrho ^{2n}}}e^{-\mu {\sqrt {2}}(R-\varrho )}.\,$

Es wird daher das in $W_{ni}\,$ vorkommende Integral, welches ^[2] von $r=0\,$ an genommen werden kann, gleich

${\begin{aligned}&\int \limits _{o}^{R}{\frac {(2n+1)^{2}}{\mu ^{2}}}e^{-\mu {\sqrt {2}}(R-\varrho )}\ d\varrho \\&={\frac {(2n+1)^{2}}{\mu ^{3}{\sqrt {2}}}},\end{aligned}}\,$

da $R\mu \,$ als sehr gross betrachtet wird. Wir erhalten sonach für sehr grosse $\omega :\,$

$W_{ni}=A^{2}{\frac {(2n+1)^{2}(n,i)}{8(n+1)^{2}}}{\sqrt {\frac {\varkappa \omega i}{2\pi ^{3}}}}\,$

$W\,$ ist von $R\,$ noch insofern abhängig, als dasselbe in $A\,$ enthalten ist.

Die entwickelte Wärme wächst also ins Unendliche mit wachsendem $\omega \,$^[3], und zwar wie ${\sqrt {\omega }}.\,$ Das gleiche gilt von der zur Erhaltung der Rotation erforderten Arbeit. Bilden die inducirenden Magnete ein fest verbundenes System, so wird demselben ein Drehungsmoment um die Rotationsachse ertheilt, welches sich aus der erzeugten Wärme berechnen lässt. Denkt man sich nämlich die Kugel ruhend, die äussern Magnete rotirend mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega ,\,$ so leistet das Drehungsmoment $D,\,$ welches die Bewegung erhält, in der Zeiteinheit

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1. Bei kleinen Geschwindigkeiten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Bei grossen Geschwindigkeiten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
3. Wegen des scheinbaren Widerspruchs mit dem für $\infty \,$ dünne Kugelschaalen erhaltenen Resultats gilt die Bemerkung auf Seite 52 unten.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 62. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_063.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)