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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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$\varphi _{i}^{0}\,$ genügt der partiellen Differentialgleichung, welcher $\varphi \,$ genügen soll. $\varphi _{a}^{0}\,$ ist so gebildet, dass es 1. der Gleichung

${\mathit {\Delta }}\varphi _{a}^{0}=0\,$

genügt, 2. an der Oberfläche der Kugel mit $\varphi _{i}^{0}\,$ zusammenfällt. Dass erstere Bedingung erfüllt ist, erkennt man daraus, dass die überstrichenen Ausdrücke Kugelflächenfunktionen $(n+1)\,$ten und $(n-1)\,$ten Grades sind, wie man leicht nachweist. Durch Einsetzung von $\varphi ^{0}+\varphi '\,$ in die Bedingungen für $\varphi \,$ erhält man für $\varphi '\,$ die Gleichungen:

${\mathit {\Delta }}\varphi '\ {\ddot {\text{u}}}{\text{berall}}=0,\ \varphi '\ {\text{stetig}},\,$

für $\varrho =R:\,$

$(1+4\pi \varepsilon ){\frac {\partial \varphi '_{i}}{\partial \varrho }}={\frac {\partial \varphi '_{a}}{\partial \varrho }}+{\frac {\partial \varphi _{a}^{0}}{\partial \varrho }},\,$

deren Erfüllung keine Schwierigkeit hat, da wir $\varphi ^{0}\,$ schon als Summe von Kugelfunktionen dargestellt haben.

Von besonderem Interesse ist der Fall, dass ein kugelförmiger Magnet in einem, ihn umgebenden ruhenden Dielektrikum rotirt, da die Erde ein rotirender Magnet und der Weltraum nach der Annahme vieler Physiker ein Dielektricum ist. Um in diesem Falle das elektrische Potential zu bestimmen, haben wir zu beachten, dass die Erde ein Leiter ist, es wird daher auch in ihr eine Vertheilung eintreten, die auf das Dielektricum ^[1] zurückwirkt, und zur Folge hat, dass an der Oberfläche der Erde das Potential constant wird.

Ist $\chi ={\mathit {\Sigma }}\chi _{n}\,$ das Potential der Erde, so ist die Aufgabe diese:

$\varphi \,$ so zu bestimmen, dass im äussern Raum

${\mathit {\Delta }}\varphi ={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}\cdot 2\omega {\frac {\partial \chi }{\partial z}},\,$

und an der Oberfläche $\varphi ={\text{const}}\,$ ist.

Man findet leicht:

$\varphi ={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}\omega \sum {\frac {R^{2}-\varrho ^{2}}{2n+1}}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}.\,$

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1. Erde im dielectrischen Raum. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 78. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_079.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)