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	Wilhelm Wien: Über die Differentialgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper. I

Wir führen nun zwei neue Variabele $\xi$ und $\eta$ anstatt t und x ein mit Hilfe der Gleichungen

(3)	${\begin{cases}\xi =\alpha t+\beta \varphi (t)+\gamma x\\&\varphi (t)=\int f(t)dt.\\\eta =\alpha _{1}t+\beta _{1}\varphi (t)+\gamma _{1}x\end{cases}}$

Anstatt der Gleichung (2) erhalten wir dann die neue

(4)

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi }}\left\{\left({\frac {\partial \xi }{\partial t}}\right)^{2}-2f{\frac {\partial \xi }{\partial t}}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+(f^{2}-c^{2})\left({\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)^{2}\right\}\\\\+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \eta ^{2}}}\left\{\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}\right)^{2}-2f{\frac {\partial \eta }{\partial t}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+(f^{2}-c^{2})\left({\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)\right\}\\\\+2{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi \ \partial \eta }}\left\{{\frac {\partial \xi }{\partial t}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}-f\left({\frac {\partial \xi }{\partial t}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial \eta }{\partial t}}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right)\right.\\\\\qquad \left.+(f^{2}-c^{2}){\frac {\partial \xi }{\partial x}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right\}\\\\+{\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }}\left\{{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}-{\frac {df}{dt}}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}\right\}+{\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}\left\{{\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}-{\frac {df}{dt}}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right\}\\\\\qquad =c^{2}\left\{{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right\}.\end{cases}}$

Wir können diese Differentialgleichung auf die zurückführen, die aus (2) entsteht, wenn $v_{x}=0$ gesetzt wird. Zu dem Zweck verlangen wir, daß die Faktoren von

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi \ \partial \eta }},\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \xi }},\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \eta }}$

verschwinden sollen. Nun ist

(5)	${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}=\beta {\frac {df}{dt}},\ {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t}}=\beta _{1}{\frac {df}{dt}},\ {\frac {\partial \xi }{\partial x}}=\gamma ,\ {\frac {\partial \eta }{\partial x}}=\gamma _{1},$ $\beta =\gamma ,\ \beta _{1}=\gamma _{1},$

wenn die Faktoren von $\partial \varphi /\partial \xi$ und $\partial \varphi /\partial \eta$ verschwinden sollen. Der Faktor von $\partial ^{2}\varphi /\partial \xi \ \partial \eta$ verschwindet, wenn außerdem noch $\alpha \alpha _{1}=c^{2}\gamma \gamma _{1}$ ist. Wir behalten dann die Gleichung

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \xi ^{2}}}(\alpha ^{2}-c^{2}\gamma ^{2})+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \eta ^{2}}}(\alpha _{1}^{2}-c^{2}\gamma _{1}^{2})=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right),$

die von derselben Form, wie die gewöhnliche

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=\Delta \varphi$

Empfohlene Zitierweise:
Wilhelm Wien: Über die Differentialgleichungen der Elektrodynamik für bewegte Körper. I. Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1904, Seite 646. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Differentialgleichungen_I_(Wien).djvu/6&oldid=- (Version vom 31.7.2018)