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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

7ten Grades

$f^{7}+xf^{3}+yf^{2}+zf+1=0$

nicht, mit Hülfe beliebiger stetiger Functionen von nur zwei Argumenten lösbar ist. Daß es überhaupt analytische Functionen von drei Argumenten $x$, $y$, $z$ giebt, die nicht durch endlich-malige Verkettung von Functionen von nur zwei Argumenten erhalten werden können, davon habe ich mich, wie ich noch bemerken möchte, durch eine strenge Ueberlegung überzeugt.

14. Nachweis der Endlichkeit gewisser voller Functionensysteme.

In der Theorie der algebraischen Invarianten verdienen, wie mir scheint, die Fragen nach der Endlichkeit voller Formensysteme ein besonderes Interesse. Es ist neuerdings L. Maurer^[1] gelungen, die von P. Gordan und mir bewiesenen Endlichkeitssätze der Invariantentheorie auf den Fall auszudehnen, daß nicht, wie in der gewöhnlichen Invariantentheorie, die allgemeine projektive Gruppe, sondern eine beliebige Untergruppe der Definition der Invarianten zu Grunde gelegt wird.

Die Beschäftigung mit der Frage nach der Endlichkeit der Invarianten hat mich auf ein einfaches Problem geführt, welches jene Frage nach der Endlichkeit der Invarianten als besonderen Fall in sich enthält, und zu dessen Lösung wahrscheinlich eine erheblich feinere Ausbildung der Theorie der Elimination und der Kroneckerschen algebraischen Modulsysteme nötig ist, als sie bisher gelungen ist.

Es seien eine Anzahl $m$ von ganzen rationalen Functionen $X_{1}$, $X_{2}$, …, $X_{m}$, der $n$ Variabeln $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{n}$, vorgelegt:

$X_{1}=f_{1}(x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})$ $X_{2}=f_{2}(x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})$

(S)

$\vdots$

$X_{m}=f_{m}(x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})$

Jede ganze rationale Verbindung von $X_{1}$, $X_{2}$, …, $X_{m}$ wird offenbar durch Eintragung dieser Ausdrücke notwendig stets eine ganze rationale Function von $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{n}$. Es kann jedoch sehr wohl gebrochene rationale Functionen von $X_{1}$, $X_{2}$, …, $X_{m}$ geben, die nach Ausführung jener Substitution (S) zu ganzen Functionen in $x_{1}$, $x_{2}$, …, $x_{n}$ werden. Eine jede solche rationale Function von $X_{1}$, $X_{2}$, …, $X_{m}$,

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1. Vgl. Sitzungsberichte der K. Akademie der Wiss. zu München 1899 und eine demnächst in den mathematischen Annalen erscheinende Arbeit.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 281. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/30&oldid=- (Version vom 1.8.2018)