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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

Fragen hinsichtlich der Möglichkeit gewisser geometrischer Construktionen wünschenswert, zu wissen, ob die Coefficienten der bei der Darstellung zu verwendenden Formen stets in demjenigen Rationalitätsbereiche angenommen werden dürfen, der durch die Coefficienten der dargestellten Form gegeben ist^[1].

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Ich nenne noch eine geometrische Aufgabe.

18. Aufbau des Raumes aus congruenten Polyedern.

Wenn man nach denjenigen Gruppen von Bewegungen in der Ebene fragt, für die ein Fundamentalbereich existirt, so fällt bekanntlich die Antwort sehr verschieden aus, jenachdem die betrachtete Ebene die Riemannsche (elliptische), Euklidische oder Lobatschefskiysche (hyperbolische) ist. Im Falle der elliptischen Ebene giebt es eine endliche Anzahl wesentlich verschiedener Arten von Fundamentalbereichen und es reicht eine endliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche zur lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene aus: die Gruppe besteht eben nur aus einer endlichen Anzahl von Bewegungen. Im Falle der hyperbolischen Ebene giebt es eine unendliche Anzahl wesentlich verschiedener Arten von Fundamentalbereichen, nämlich die bekannten Poincaréschen Polygone; zur lückenlosen Ueberdeckung der Ebene ist eine unendliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche notwendig. Der Fall der Euklidischen Ebene steht in der Mitte; denn in diesem Falle giebt es nur eine endliche Anzahl von wesentlich verschiedenen Arten von Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich; aber zur lückenlosen Ueberdeckung der ganzen Ebene^{[WS 1]} ist eine unendliche Anzahl von Exemplaren congruenter Bereiche notwendig.

Genau die entsprechenden Thatsachen gelten auch im dreidimensionalen Raume. Die Thatsache der Endlichkeit der Bewegungsgruppen im elliptischen Raume ist eine unmittelbare Folge eines fundamentalen Satzes von C. Jordan^[2], wonach die Anzahl der wesentlich verschiedenen Arten von endlichen Gruppen linearer Substitutionen mit $n$ Veränderlichen eine gewisse endliche, von $n$ abhängige Grenze nicht überschreitet. Die Bewegungsgruppen mit Fundamentalbereich im hyperbolischen Raume sind von Fricke und Klein in den Vorlesungen über die Theorie

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1. Vgl. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1899, Kap. VII, insbesondere § 38.
2. Journal für Mathematik, Bd. 84 (1878) und Atti della Reale Accademia di Napoli 1880

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: Eebene

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 285. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/34&oldid=- (Version vom 1.8.2018)