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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

19. Sind die Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?

Eine der begrifflich merkwürdigsten Thatsachen in den Elementen der Theorie der analytischen Functionen erblicke ich darin, daß es partielle Differentialgleichungen giebt, deren Integrale sämtlich notwendig analytische Functionen der unabhängigen Variabeln sind, die also, kurz gesagt, nur analytischer Lösungen fähig sind. Die bekanntesten partiellen Differentialgleichungen dieser Art sind die Potentialgleichung

${\frac {\partial ^{2}f\!\,}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f\!\,}{\partial y^{2}}}=0$

und gewisse von Picard^[1] untersuchte lineare Differentialgleichungen, ferner die Differentialgleichung

${\frac {\partial ^{2}f\!\,}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f\!\,}{\partial y^{2}}}=e^{f},\!\,$

die partielle Differentialgleichung der Minimalfläche und andere. Die Mehrzahl dieser partiellen Differentialgleichungen haben als Merkmal miteinander gemein, daß sie die Lagrangeschen Differentialgleichungen gewisser Variationsprobleme sind und zwar solcher Variationsprobleme

$\iint F(p,q,z;x,y)dxdy={\rm {Minimum,}}\qquad \qquad {\bigg [}p={\frac {\partial z}{\partial x}},q={\frac {\partial z}{\partial y}}{\bigg ]}$

bei denen für alle in Frage kommenden Argumente die Ungleichung

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial p^{2}}}\quad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial q^{2}}}-{\bigg (}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial p\partial q}}{\bigg )}^{2}>0$

gilt, während $F$ selbst eine analytische Function ist. Wir wollen ein solches Variationsproblem ein reguläres Variationsproblem nennen. Die regulären Variationsprobleme sind es vornehmlich, die in der Geometrie, Mechanik und mathematischen Physik eine Rolle spielen, und es liegt die Frage nahe, ob alle Lösungen regulärer Variationsprobleme stets notwendig analytische Functionen sein müssen, d. h. ob jede Lagrangesche partielle Differentialgleichung eines regulären Variationsproblems die Eigenschaft hat, daß sie nur analytische Integrale zuläßt – selbst wenn man, wie bei dem Dirichletschen Potentialprobleme, der Function irgend welche stetige, aber nicht analytische Randwerte aufzwingt.

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1. Journal de l'École Polytechnique 1890.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 288. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/37&oldid=- (Version vom 1.8.2018)