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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

Den am Anfange meines Vortrags gemachten allgemeinen Bemerkungen über Variationsrechnung füge ich hier eine kurze Begründung hinzu.

Das einfachste Problem der eigentlichen Variationsrechnung besteht bekanntlich darin, eine Funktion $y$ der Veränderlichen $x$ derart zu finden, daß das bestimmte Integral

$J=\int _{a}^{b}F(y_{x},y;\ x)\,dx,\qquad {\Bigg [}y_{x}={\frac {dy}{dx}}{\Bigg ]}\,$

einen Minimalwert erhält im Vergleich zu denjenigen Werten, die das Integral annimmt, wenn wir statt $y$ andere Funktionen von $x$ mit den nämlichen gegebenen Anfangs- und Endwerten in das bestimmte Integral einsetzen. Das Verschwinden der ersten Variation im üblichen Sinne

$\delta J=0\,$

liefert für die gesuchte Funktion $y$ die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

(1)	${\frac {dF_{y_{x}}}{dx}}\,-F_{y}=0,\,\qquad {\Bigg [}F_{y_{x}}={\frac {\partial F}{\partial y_{x}}},\qquad F_{y}={\frac {\partial F}{\partial y}}{\Bigg ]}.\,$

Um nun des Näheren die notwendigen und hinreichenden Kriterien für das Eintreten des verlangten Minimums zu untersuchen, betrachten wir das Integral

$J^{*}=\int _{a}^{b}{\big \{}F+(y_{x}-p)\,F_{p}{\big \}}\,dx\,$ ${\Bigg [}F=F(p,y;\ x),\qquad F={\frac {\partial F(p,y;\ x)}{\partial p}}{\Bigg ]}\,$

und fragen, wie darin $p$ als Funktion von $x$, $y$ zu nehmen ist, damit der Wert dieses Integrals $J^{*}$ von dem Integrationswege d. h. von der Wahl der Funktion $y$ der Variabeln $x$ unabhängig wird. Das Integral $J^{*}$ hat die Form

$J^{*}=\int _{a}{\big \{}Ay_{x}-B{\big \}}\,dx,\,$

wo $A$ und $B$ nicht $y_{x}$ enthalten, und das Verschwinden der ersten Variation

$\delta J^{*}=0\,$

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 292. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/41&oldid=- (Version vom 1.8.2018)