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Liste.png David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

Den am Anfange meines Vortrags gemachten allgemeinen Bemerkungen über Variationsrechnung füge ich hier eine kurze Begründung hinzu.

Das einfachste Problem der eigentlichen Variationsrechnung besteht bekanntlich darin, eine Funktion der Veränderlichen derart zu finden, daß das bestimmte Integral

einen Minimalwert erhält im Vergleich zu denjenigen Werten, die das Integral annimmt, wenn wir statt andere Funktionen von mit den nämlichen gegebenen Anfangs- und Endwerten in das bestimmte Integral einsetzen. Das Verschwinden der ersten Variation im üblichen Sinne

liefert für die gesuchte Funktion die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

(1)

Um nun des Näheren die notwendigen und hinreichenden Kriterien für das Eintreten des verlangten Minimums zu untersuchen, betrachten wir das Integral

und fragen, wie darin als Funktion von , zu nehmen ist, damit der Wert dieses Integrals von dem Integrationswege d. h. von der Wahl der Funktion der Variabeln unabhängig wird. Das Integral hat die Form

wo und nicht enthalten, und das Verschwinden der ersten Variation

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 292. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/41&oldid=- (Version vom 1.8.2018)