Seite:Hilbert - Mathematische Probleme.pdf/42

	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

${\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}=0\,$

d.h. wir erhalten für die Funktion $p$ der beiden Veränderlichen $x$, $y$ die partielle Differentialgleichung erster Ordnung

(1*)	${\frac {\partial F_{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial (pF_{p}-F)}{\partial y}}=0.\,$

Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns unmittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:

${\begin{aligned}\delta J^{*}&=\int _{a}^{b}{\big \{}F_{y}\,\delta y+F_{p}\,\delta p+(\delta y_{x}-\delta p)F_{p}+(y_{x}-p)\delta F_{p}{\big \}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\big \{}F_{y}\,\delta y+\delta y_{x}F_{p}+(y_{x}-p)\delta F_{p}{\big \}}\,dx\\&=\delta J+\int _{a}^{b}(y_{x}-p)\delta F_{p}\,dx.\,\end{aligned}}$

Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn wir uns irgend eine einfache Schaar von Integralcurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

(2)	$y_{x}=p(x,y)\,$

bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so ist stets die Funktion $p(x,y)$ ein Integral der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn $p(x,y)$ irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären Integrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2) zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1); oder kurz ausgedrückt: wenn $y_{x}=p(x,y)$ eine Integralgleichung erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist, so stellt $p(x,y)$ ein Integral der partiellen Differentialgleichung (1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*).

In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns nämlich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 293. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/42&oldid=- (Version vom 8.12.2022)