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Liste.png David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

d.h. wir erhalten für die Funktion der beiden Veränderlichen , die partielle Differentialgleichung erster Ordnung

(1*)

Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und die ebengefundene partielle Differentialgleichung (1*) stehen zu einander in engster Beziehung. Diese Beziehung wird uns unmittelbar deutlich durch die folgende einfache Umformung:

Wir entnehmen nämlich hieraus folgende Thatsachen: wenn wir uns irgend eine einfache Schaar von Integralcurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) verschaffen und dann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

(2)

bilden, die diese Integralcurven ebenfalls als Lösungen zuläßt, so ist stets die Funktion ein Integral der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*); und umgekehrt, wenn irgend eine Lösung der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) bedeutet, so sind die sämtlichen nicht singulären Integrale der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung (2) zugleich Integrale der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1); oder kurz ausgedrückt: wenn eine Integralgleichung erster Ordnung der Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) ist, so stellt ein Integral der partiellen Differentialgleichung (1*) dar und umgekehrt; die Integralcurven der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) sind also zugleich die Charakteristiken der partiellen Differentialgleichnng erster Ordnung (1*).

In dem vorliegenden Falle finden wir das nämliche Resultat auch mittelst einer einfachen Rechnung; diese liefert uns nämlich die in Rede stehenden Differentialgleichungen (1) bez. (1*) in

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 293. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/42&oldid=- (Version vom 1.8.2018)