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Liste.png David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

der Gestalt

(1)

bez.

(1*)

wo die unteren Indices in leichtverständlicher Schreibweise die partiellen Ableitungen nach , , , bedeuten. Hieraus leuchtet die Richtigkeit der behaupteten Beziehung ein.

Die vorhin aufgestellte und soeben bewiesene enge Beziehung zwischen der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung (1) und der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung (1*) ist, wie mir scheint, für die Variationsrechnung von grundlegender Bedeutung. Denn wegen der Unabhängigkeit des Integrales vom Integrationswege folgt nunmehr

(3)

wenn wir das Integral linker Hand auf irgend einem Wege und das Integral rechter Hand auf einer Integralcurve der Differentialgleichung

genommen denken. Mit Hülfe der Gleichung (3) gelangen wir zu der Weierstrass’schen Formel

(4)

wo den von den 4 Argumenten , , , abhängigen Weierstrass’schen Ausdruck

bezeichnet. Da es hiernach lediglich darauf ankommt, die in Rede stehende Integralcurve in der -Ebene auf eindeutige und stetige Weise mit Werten einer entsprechenden Integralfunktion zu umgeben, so führen die eben angedeuteten Entwickelungen unmittelbar – ohne Heranziehung der zweiten Variation sondern allein durch Anwendung des Polarenprocesses auf die Differentialgleichung (1) – zur Aufstellung der Jacobi’schen Bedingung und zur Beantwortung der Frage, inwiefern diese Jacobi’sche Bedingung im Verein mit der Weierstrass’schen Bedingung für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 294. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/43&oldid=- (Version vom 1.8.2018)