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Liste.png David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

Die angedeuteten Entwickelungen lassen sich, ohne daß eine weitere Rechnung nötig wäre, auf den Fall zweier oder mehr gesuchter Funktionen, sowie auf den Fall eines Doppel- oder mehrfachen Integrals übertragen. So liefert beispielsweise im Fall des über ein gegebenes Gebiet zu erstreckenden Doppelintegrals

das im üblichen Sinne zu verstehende Verschwinden der ersten Variation

für die gesuchte Funktion von , die bekannte Differentialgleichung zweiter Ordnung

(I)

Andererseits betrachten wir das Integral

und fragen, wie darin und als Funktionen von , , zu nehmen sind, damit der Wert dieses Integrals von der Wahl der durch die gegebene geschlossene Raumcurve gelegten Fläche d. h. von der Wahl der Funktion der Variabeln , unabhängig wird. Das Integral hat die Form

und das Verschwinden der ersten Variation

in dem Sinne, den die neue Fragestellung erfordert, liefert die Gleichung


d.h. wir erhalten für die Funktionen und der drei Variabeln , , die Differentialgleichung erster Ordnung

(I*)
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 295. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/44&oldid=- (Version vom 6.11.2018)