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	David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse

Fügen wir zu dieser Differentialgleichung noch die aus den Gleichungen

$z_{x}=p(x,y,z),\,z_{y}=q(x,y,z)\,$

resultirende partielle Differentialgleichung

(I*)	$p_{y}+qp_{x}=q_{x}+pq_{z}$

hinzu, so stehen die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung (I) für die Funktion $z$ der zwei Veränderlichen $x$, $y$ und das simultane System der zwei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung (I*) für die zwei Funktionen $p$ und $q$ der drei Veränderlichen $x$, $y$, $z$ zu einander genau in der analogen Beziehung, wie vorhin im Falle eines einfachen Integrals die Differentialgleichungen (1) und (1*).

Wegen der Unabhängigkeit des Integrals $J^{*}$ von der Wahl der Integrationsfläche $z$ folgt:

$\int {\big \{}F(p,q)+(z_{x}-p)F_{p}(p,q)+(z_{y}-q)F_{q}(p,q){\big \}}\,d\omega =\int F({\overline {z}}_{x},{\overline {z}}_{y})\,d\omega ,\,$

wenn wir das Integral rechter Hand auf einer Integralfläche ${\overline {z}}$ der partiellen Differentialgleichungen

${\overline {z}}_{x}=p(x,y,{\overline {z}}),\,{\overline {z}}_{y}=q(x,y,{\overline {z}})\,$

genommen denken und mit Hülfe dieser Formel gelangen wir dann sofort zu der Formel

(IV)	$\int F(z_{x},z_{y})\,d\omega -\int F({\overline {z}}_{x},{\overline {z}}_{y})\,d\omega \ =\int F(z_{x},z_{y},p,q)\,d\omega \,$

$E(z_{x},z_{y},p,q)=F(z_{x},z_{y})-F(p,q)-(z_{x}-p)\,F_{p}(p,q)-(z_{y}-q)\,F_{p}(p,q),$

die für die Variation der Doppelintegrale die nämliche Rolle spielt, wie die vorhin angegebene Formel (4) für die einfachen Integrale und mit deren Hülfe wir wiederum die Frage beantworten können, inwiefern die Jacobische Bedingung im Verein mit der Weierstrassschen Bedingung $E>0$ für das Eintreten eines Minimums notwendig und hinreichend ist.

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Die genannten Probleme sind nur Proben von Problemen; sie genügen jedoch, um uns vor Augen zu führen, wie reich, wie mannigfach und wie ausgedehnt die mathematische Wissenschaft schon heute ist und es drängt sich uns die Frage auf, ob der Mathematik einst bevorsteht, was anderen Wissenschaften längst widerfahren ist, nämlich daß sie in einzelne Teilwissenschaften zerfällt, deren Vertreter kaum noch einander verstehen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: Mathematische Probleme. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1900, Seite 296. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Hilbert_-_Mathematische_Probleme.pdf/45&oldid=- (Version vom 1.8.2018)