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	Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Das Relativitätsprinzip (Ignatowski)

Es folgt deshalb aus (1), indem wir wieder $d{\mathfrak {r}}$ statt $d{\mathfrak {r}}_{2}$ schreiben,

(6)	$d{\mathfrak {r}}'=d{\mathfrak {r}}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}}{A}}$

wo jetzt aber $d{\mathfrak {r}}'$ und $d{\mathfrak {r}}$ die von $K'$, resp. $K$ aus synchron gemessenen Linienelemente bedeuten.

Die Geschwindigkeit ${\mathfrak {v}}$ ist diejenige des unendlich kleinen Volumenelementes, des bewegten Mediums, innerhalb dessen sich das Linienelement $d{\mathfrak {r}}$ befindet.

Innerhalb dieses Volumenelementes nehmen wir drei nicht in einer Ebene liegende Linienelemente und erhalten dann für diese

(7)

$\left\{{\begin{aligned}d{\mathfrak {r}}'_{1}=&d{\mathfrak {r}}_{1}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{1}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{1}}{A}}\\d{\mathfrak {r}}'_{2}=&d{\mathfrak {r}}_{2}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{2}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{2}}{A}}\\d{\mathfrak {r}}'_{3}=&d{\mathfrak {r}}_{3}+pqn{\mathfrak {v}}\cdot {\frac {{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{3}}{A}}-{\frac {(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {r}}_{3}}{A}}\end{aligned}}\right.$

Wir bilden jetzt das Produkt

(8)	$\left[d{\mathfrak {r}}'_{2}d{\mathfrak {r}}'_{3}\right]=d{\mathfrak {f}}'$

welches nichts anderes ist, als ein gerichtetes Flächenelement für den gestrichenen Beobachter.

Aus (7) erhalten wir

(9)	$d{\mathfrak {f}}'=d{\mathfrak {f}}-{\frac {pqn}{A}}\left[{\mathfrak {v}}\left[{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}\right]\right]+{\frac {p-1}{A}}\left[{\mathfrak {c}}_{0}\left[{\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}\right]\right]$

oder unter Berücksichtigung der Bedeutung von $A$ aus (18) Nr. 6

(10)	${\frac {d{\mathfrak {f}}'}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}}\left\{d{\mathfrak {f}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}d{\mathfrak {f}}-pqn{\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {v}}d{\mathfrak {f}}\right\}$

wobei augenscheinlich $d{\mathfrak {f}}$ bzw. $d{\mathfrak {f}}$ die von $K'$ bzw. $K$ synchron gemessenen Flächenelemente bedeuten.

Aus (10) und (7) ergibt sich weiter für das Produkt

$d{\mathfrak {r}}'_{1}\left[d{\mathfrak {r}}'_{2}d{\mathfrak {r}}'_{3}\right]=d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'$

(11)	$d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'={\frac {d{\mathfrak {r}}d{\mathfrak {f}}}{A}}$

oder

(11a)

${\frac {d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}={\frac {d{\mathfrak {r}}_{1}d{\mathfrak {f}}}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}}$

Nun sind $d{\mathfrak {r}}'_{1}d{\mathfrak {f}}'$ bzw. $d{\mathfrak {r}}d{\mathfrak {f}}$ nichts anderes als die entsprechenden Volumenelemente $dv'$ bzw. $dv$, synchron gemessen von $K'$ bzw. $K$ aus. Aus (113) folgt demnach

(12)	${\frac {dv'}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{\prime 2}}}}={\frac {dv}{\sqrt {1-n{\mathfrak {v}}^{2}}}}=dJ$

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Empfohlene Zitierweise:
Wladimir Sergejewitsch Ignatowski: Das Relativitätsprinzip (Ignatowski). Archiv der Mathematik und Physik, Leipzig 1911, Seite 18. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:IgnatowskiRelativ.djvu/26&oldid=- (Version vom 1.8.2018)