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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

für $\sigma >1$ vor, so läßt sich dieser nicht als Differentialquotient einer einzigen Funktion oder Potenzprodukt eines solchen schreiben; die Zahl der willkürlichen Funktionen hat also gegen die Voraussetzung zugenommen. Verschwinden alle von $a$ und $b$ verschiedenen Koeffizienten, so wird je nach den Werten der Exponenten $\nu _{1}\dots \nu _{\varrho }$ der zweite Term der Differentialquotient des ersten (wie z. B. immer für eine ${\mathfrak {G}}_{\infty 1}$), so daß also tatsächlich Linearität eintritt; oder aber die Anzahl der willkürlichen Funktionen nimmt auch hier zu. — Die infinitesimalen Transformationen genügen also wegen der Linearität der $p(x)$ einem System linear partieller Differentialgleichungen; und da die Gruppeneigenschaft erfüllt ist, bilden sie eine „unendliche Gruppe infinitesimaler Transformationen“ nach der Definition von Lie (Grundlagen, § 10).

Die Umkehrung ergibt sich nun ähnlich wie im Fall der endlichen Gruppe. Das Bestehen der Abhängigkeiten (16) führt durch Multiplikation mit $p^{(\lambda )}(x)$ und Addition vermöge der identischen Umformung (14) auf $\sum \psi _{i}{\bar {\delta }}u_{i}=\mathrm {Div} \ \Gamma ;$ und daraus folgt wie in § 3 die Bestimmung von $\Delta x$ und $\Delta u$ und die Invarianz von $I$ gegenüber diesen infinitesimalen Transformationen, die tatsächlich linear von $\varrho$ willkürlichen Funktionen und ihren Ableitungen bis zur $\sigma$-ten Ordnung abhängen. Daß diese infinitesimalen Transformationen, wenn sie keine Ableitungen ${\frac {\partial u}{\partial x}},\dots$ enthalten, sicher eine Gruppe bilden, folgt wie in § 3 daraus, daß sonst durch Zusammensetzung mehr willkürliche Funktionen auftreten würden, während es nach Annahme nur $\varrho$ Abhängigkeiten (16) geben soll; sie bilden also eine „unendliche Gruppe von infinitesimalen Transformationen“. Eine solche besteht aber (Grundlagen, Theorem VII, S. 391) aus den allgemeinsten infinitesimalen Transformationen einer gewissen dadurch definierten im Lieschen Sinne „unendlichen Gruppe ${\mathfrak {G}}$ von endlichen Transformationen“. Jede endliche Transformation wird dabei aus infinitesimalen erzeugt (Grundlagen, § 7)^[1], entsteht also durch Integration des simultanen Systems:

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\Delta x_{i};\quad {\frac {du_{i}}{dt}}=\Delta u_{i}\quad \left({\begin{array}{c}x_{i}=y_{i}\\u_{i}=v\end{array}}\ {\text{für}}\ t=0\right),$

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1. Daraus folgt insbesondere, daß die aus den infinitesimalen Transformationen $\Delta x,\ \Delta u$ einer ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$ erzeugte Gruppe ${\mathfrak {G}}$ wieder auf ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$ zurückführt. Denn ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$ enthält keine von $\Delta x,\ \Delta u$ verschiedenen, von willkürlichen Funktionen abhängenden infinitesimalen Transformationen, und kann auch keine davon unabhängigen, von Parametern abhängenden enthalten, da es sonst eine gemischte Gruppe wäre. Durch die infinitesimalen Transformationen sind aber nach dem obigen die endlichen bestimmt.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 247. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/13&oldid=- (Version vom 1.8.2018)