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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

§ 5. Invarianz der einzelnen Bestandteile der Relationen.

Spezialisiert man die Gruppe ${\mathfrak {G}}$ auf den einfachsten, gewöhnlich betrachteten Fall dadurch, daß man in den Transformationen keine Ableitungen der $u$ zuläßt, und daß die transformierten unabhängigen Variabeln nur von den $x$, nicht von den $u$ abhängen, so kann man auf Invarianz der einzelnen Bestandteile in den Formeln schließen. Vorerst ergibt sich nach bekannten Schlüssen die Invarianz von $\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}\delta u_{i}\right)dx$; also die relative Invarianz von $\sum \psi _{i}\delta u_{i}$^[1], unter $\delta$ irgend eine Variation verstanden. Man hat nämlich einerseits:

$\delta I=\int \dots \int \delta f\left(x,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},\dots \right)dx=\int \dots \int \delta f\left(y,v,{\frac {\partial v}{\partial y}},\dots \right)dy,$

anderseits für am Rande verschwindendes $\delta u,\ \delta {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots ,$ dem wegen der linearen, homogenen Transformation der $\delta u,\ \delta {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots$ auch am Rande verschwindendes $\delta v,\ \delta {\frac {\partial v}{\partial y}},\dots$ entspricht:

$\int \dots \int \delta f\left(x,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},\dots \right)dx=\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}(u,\dots )\delta u_{i}\right)dx;$

$\int \dots \int \delta f\left(y,v,{\frac {\partial v}{\partial x}},\dots \right)dy=\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}(v,\dots )\delta v_{i}\right)dy,$

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dieses $I^{*}$ gestattet, indem ich mich in der Bezeichnung genau an die zweite Kleinsche Note halte. Das Integral $I=\int \dots \int K\ d\omega =\int \dots \int {\mathfrak {K}}dS$ gestattet die Gruppe aller Transformationen der $w$ und die dadurch induzierte für die $g_{\mu \nu }$; dem entsprechen die Abhängigkeiten ((30) bei Klein):

$\sum {\mathfrak {K}}_{\mu \nu }g_{\tau }^{\mu \nu }+2\sum {\frac {\partial g^{\mu \nu }{\mathfrak {K}}_{\mu \tau }}{\partial w^{\sigma }}}=0.$

Nun wird: $I^{*}=\int \dots \int {\mathfrak {K}}^{*}dS$, wo ${\mathfrak {K}}^{*}={\mathfrak {K}}+\mathrm {Div}$, und folglich wird: ${\mathfrak {K}}_{\mu \nu }^{*}={\mathfrak {K}}_{\mu \nu }$, wo ${\mathfrak {K}}_{\mu \nu }^{*},\ {\mathfrak {K}}_{\mu \nu }$ jeweils die Lagrangeschen Ausdrücke bedeuten. Die angegebenen Abhängigkeiten sind also auch solche für ${\mathfrak {K}}_{\mu \nu }^{*}$; und nach Multiplikation mit $p^{\tau }$ und Addition ergibt sich durch die Umformungen der Produktdifferentiation rückwärts:

$\sum {\mathfrak {K}}_{\mu \nu }p^{\mu \nu }+2\mathrm {Div} \left(\sum g{}^{\mu \sigma }{\mathfrak {K}}_{\mu \tau }p^{\tau }\right)=0;$

$\delta {\mathfrak {K}}^{*}+\mathrm {Div} \left(\sum 2g{}^{\mu \sigma }{\mathfrak {K}}_{\mu \tau }p^{\tau }-{\frac {\partial {\mathfrak {K}}^{*}}{\partial g{}_{\sigma }^{\mu \nu }}}p^{\mu \nu }\right)=0.$

Durch Vergleichen mit der Lieschen Differentialgleichung: $\delta {\mathfrak {K}}^{*}+\mathrm {Div} \left({\mathfrak {K}}^{*}\Delta w\right)=0$ folgt daraus:

$\Delta w^{\sigma }={\frac {1}{{\mathfrak {K}}^{*}}}\left(\sum 2g{}^{\mu \sigma }{\mathfrak {K}}_{\mu \tau }p^{\tau }-{\frac {\partial {\mathfrak {K}}^{*}}{\partial g{}_{\sigma }^{\mu \nu }}}p^{\mu \nu }\right);\quad \Delta g^{\mu \nu }=p^{\mu \nu }+\sum g_{\sigma }^{\mu \nu }\Delta w^{\sigma }$

als infinitesimale Transformationen, die $I^{*}$ gestattet. Diese infinitesimalen Transformationen hängen also von den ersten und zweiten Ableitungen der $g^{\mu \nu }$ ab, und enthalten die willkürlichen $p$ bis zur ersten Ableitung.

1. D. h. $\sum \psi _{i}\delta u_{i}$ nimmt bei Transformationen einen Faktor an, was in der algebraischen Invariantentheorie immer als relative Invarianz bezeichnet wurde.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 250. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/16&oldid=- (Version vom 1.8.2018)