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nicht identisch verschwindenden Funktionensystems , dessen Divergenz identisch verschwindet.

Aus der relativen Invarianz von läßt sich im eindimensionalen Fall und bei endlicher Gruppe noch ein Schluß auf die Invarianz der ersten Integrale ziehen. Die der infinitesimalen Transformation entsprechende Parametertransformation wird nach (20) linear und homogen, und wegen der Umkehrbarkeit aller Transformationen werden auch die linear und homogen in den transformierten Parametern . Diese Umkehrbarkeit bleibt sicher erhalten, wenn man setzt, da in (20) keine Ableitungen der auftreten. Durch Gleichsetzen der Koeffizienten der in

werden somit auch die lineare, homogene Funktionen der , sodaß aus oder auch, folgt: oder Die ersten Integrale, die einer entsprechen, gestatten also jeweils die Gruppe, so daß sich auch die weitere Integration vereinfacht. Das einfachste Beispiel hierzu ist, daß von oder einem frei ist, was den infinitesimalen Transformation bezw. entspricht. Es wird bezw. , und da sich aus und durch Differentiation und rationale Verbindungen ableitet, ist es also auch frei von bezw. und gestattet die entsprechenden Gruppen[1].


§ 6. Eine Hilbertsche Behauptung.

Aus dem Vorhergehenden ergibt sich schließlich noch der Beweis einer Hilbertschen Behauptung über den Zusammenhang des


  1. In den Fällen, wo schon aus der Invarianz von die Existenz erster Integrale folgt, gestatten diese nicht die vollständige Gruppe ; z. B. gestattet die infinitesimale Transformation: ; während das erste Integral , das entspricht, die beiden andern infinitesimalen Transformationen nicht gestattet, da es sowohl wie explizit enthält. Diesem ersten Integral entsprechen eben infinitesimale Transformationen für , die Ableitungen enthalten. Man sieht also, daß die Invarianz von jedenfalls weniger leistet als die Invarianz von , was zu der in einer vorangehenden Anmerkung aufgeworfenen Frage zu bemerken ist.
Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 253. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/19&oldid=- (Version vom 1.8.2018)