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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

sei die endliche Gruppe verstanden:

$y_{i}=x_{i}+\varepsilon _{i};\quad v_{i}(y)=u_{i}(x);$

also:

$\Delta x_{i}=\varepsilon _{i},\quad \Delta u_{i}=0,\quad {\bar {\delta }}u_{i}=-\sum \limits _{\lambda }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\lambda }}}\varepsilon _{\lambda }.$

Die Invarianz gegenüber der Verschiebungsgruppe sagt bekanntlich aus, daß in $I=\int \dots \int f\left(x,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},\dots \right)dx$ die $x$ nicht explizit in $f$ auftreten. Die zugehörigen $n$ Divergenzrelationen

$\sum \psi _{i}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\lambda }}}=\mathrm {Div} \ B^{(\lambda )}\qquad (\lambda =1,2,\dots n)$

seien als „Energierelationen“ bezeichnet, da die dem Variationsproblem entsprechenden „Erhaltungssätze“ $\mathrm {Div} \ B^{(\lambda )}=0$ den „Energiesätzen“, die $B^{(\lambda )}$ den „Energiekomponenten“ entsprechen. Dann gilt also: Gestattet $I$ die Verschiebungsgruppe, so werden die Energierelationen dann und nur dann uneigentliche, wenn $I$ invariant ist gegenüber einer unendlichen Gruppe, die die Verschiebungsgruppe als Untergruppe enthält^[1].

Ein Beispiel von solchen unendlichen Gruppen ist gegeben durch die Gruppe aller Transformationen der $x$ und solcher induzierter Transformationen der $u(x)$, in denen nur Ableitungen der willkürlichen Funktionen $p(x)$ auftreten; die Verschiebungsgruppe entsteht durch die Spezialisierung $p^{(i)}(x)=\varepsilon _{i}$; doch muß unentschieden bleiben, ob damit — und durch die durch Abänderung von $I$ um ein Randintegral entstehenden Gruppen — schon die allgemeinsten dieser Gruppen gegeben sind. Induzierte Transformationen der angegebenen Art entstehen etwa, indem man die $u$ den Koeffiziententransformationen einer „totalen Differentialform“ unterwirft, d. h. einer Form $\sum a\,d^{\lambda }x_{i}+\sum b\,d^{\lambda -1}x_{i}\,dx_{\varkappa }+\dots$, die außer den $dx$ noch höhere Differentiale enthält; speziellere induzierte Transformationen, bei denen die $p(x)$ nur in erster Ableitung auftreten, sind durch die Koeffiziententransformationen gewöhnlicher Differentialformen $\sum c\,dx_{i_{1}}\dots dx_{i_{\lambda }}$ gegeben, und diese hat man gewöhnlich nur betrachtet.

Eine weitere Gruppe der angegebenen Art — die wegen des Auftretens des logarithmischen Gliedes keine Koeffiziententransformation

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1. Die Energiesätze der klassischen Mechanik und ebenso die der alten „Relativitätstheorie“ (wo $\sum dx^{2}$ in sich übergeht), sind „eigentliche“, da hier keine unendlichen Gruppen auftreten.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 255. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/21&oldid=- (Version vom 1.8.2018)