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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

sein kann — ist etwa die folgende:

$y=x+p(x);\ v_{i}=u_{i}+\lg(1+p'(x))=u_{i}+\lg {\frac {dy}{dx}};$

$\Delta x=p(x);\ \Delta u_{i}=p'(x)$[1]$;\ {\bar {\delta }}u_{i}=p'(x)-u'_{i}p(x).$

Die Abhängigkeiten (16) werden hier:

$\sum \limits _{i}\left(\psi _{i}u_{i}'+{\frac {d\psi _{i}}{dx}}\right)=0,$

die uneigentlichen Energierelationen werden:

$\sum \left(\psi _{i}u_{i}'+{\frac {d\left(\psi _{i}+\mathrm {const.} \right)}{dx}}\right)=0.$

Ein einfachstes invariantes Integral der Gruppe ist:

$I=\int {\frac {e^{-2u_{1}}}{u'_{1}-u'_{2}}}dx.$

Das allgemeinste $I$ bestimmt sich durch Integration der Lieschen Differentialgleichung (11):

${\bar {\delta }}f+{\frac {d}{dx}}(f\cdot \delta x)=0,$

die durch Einsetzen der Werte für $\Delta x$ und ${\bar {\delta }}u$, sobald man $f$ als von nur ersten Ableitungen der $u$ abhängig annimmt, übergeht in

${\frac {\partial f}{\partial x}}p(x)+\left\{\sum {\frac {\partial f}{\partial u_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial u'_{i}}}u'_{1}+f\right\}p'(x)+\left\{\sum {\frac {\partial f}{\partial u''_{i}}}\right\}p''(x)=0$

(identisch in $p(x),\ p'(x),\ p''(x)$). Dieses Gleichungssystem besitzt schon für zwei Funktionen $u(x)$ Lösungen, die die Ableitungen wirklich enthalten, nämlich:

$f=\left(u'_{1}-u'_{2}\right)\Phi \left(u_{1}-u_{2},\ {\frac {e^{-u_{1}}}{u'_{1}-u'_{2}}}\right),$

wo $\Phi$ eine willkürliche Funktion der angegebenen Argumente bedeutet.

Hilbert spricht seine Behauptung so aus, daß das Versagen eigentlicher Energiesätze ein charakterisches Merkmal der „allgemeinen Relativitätstheorie“ sei. Damit diese Behauptung wörtlich gilt, ist also die Bezeichnung „allgemeine Relativität“ weiter als

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1. Aus diesen infinitesimalen Transformationen berechnen sich die endlichen rückwärts nach der in § 4, Schluß angegebenen Methode.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 256. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/22&oldid=- (Version vom 1.8.2018)