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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

der $u$ nach den $x$ , also ${\frac {\partial u}{\partial x}},\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\dots$ auftreten^[1]. Eine Funktion heißt eine Invariante der Gruppe, wenn eine Relation besteht:

P\left(x,\ u,\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\dots \right)=P\left(y,\ v,\ {\frac {\partial v}{\partial y}},\ {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y{}^{2}}},\dots \right).

Insbesondere wird also ein Integral $I$ eine Invariante der Gruppe wenn eine Relation besteht:

(1)	$I=\int \dots \int f\left(x,\ u,\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\dots \right)dx$

=\int \dots \int f\left(y,\ v,\ {\frac {\partial v}{\partial y}},\ {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y{}^{2}}},\dots \right)dy

^[2]

integriert über ein beliebiges reelles $x$ -Gebiet und das entsprechende $y$ -Gebiet^[3].

Anderseits bilde ich für ein beliebiges, nicht notwendig invariantes Integral $I$ die erste Variation $\delta I$ und forme sie nach den Regeln der Variationsrechnung durch partielle Integration um. Es kommt bekanntlich, sobald man $\delta u$ mit allen auftretenden Ableitungen am Rande als verschwindend, sonst aber beliebig annimmt:

(2)	$\delta I=\int \dots \int \delta f\ dx=\int \dots \int \left(\sum \psi _{i}\left(x,\ u,\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots \right)\delta u_{i}\right)dx,$

wo $\psi$ die Lagrangeschen Ausdrücke bedeuten; d. h. die linken Seiten der Lagrangeschen Gleichungen des zugehörigen Variationsproblems $\delta I=0$ . Dieser Integralrelation entspricht eine integralfreie Identität in $\delta u$ und seinen Ableitungen, die dadurch entsteht, daß man die Randglieder mit anschreibt. Wie

↑ Ich lasse — soweit möglich auch bei Summationen — die Indices weg; also etwa ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$ für ${\frac {\partial ^{2}u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }\partial x_{\gamma }}}$ u. s. w.
↑ Ich schreibe abkürzend $dx,\ dy$ für $dx_{1}\dots dx_{n},\ dy_{1}\dots dy_{n}$ .
↑ Alle in den Transformationen auftretenden Argumente $x,\ u,\ \varepsilon ,\ p(x)$ sollen als reell angenommen werden, während die Koeffizienten komplex sein dürfen. Da es sich aber in den Schlußresultaten um Identitäten in den $x,\ u,$ Parametern und willkürlichen Funktionen handelt, gelten diese auch für komplexe Werte, sobald nur alle auftretenden Funktionen als analytisch angenommen werden. Ein großer Teil der Resultate läßt sich übrigens integralfrei begründen, sodaß hier die Beschränkung auf das Reelle auch bei der Begründung nicht notwendig ist. Dagegen scheinen die Betrachtungen am Schlusse von § 2 und Anfang von § 5 nicht integralfrei durchführbar zu sein.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 237. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/3&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] Ich lasse — soweit möglich auch bei Summationen — die Indices weg; also etwa ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$ für ${\frac {\partial ^{2}u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }\partial x_{\gamma }}}$ u. s. w.

[2] Ich schreibe abkürzend $dx,\ dy$ für $dx_{1}\dots dx_{n},\ dy_{1}\dots dy_{n}$ .

[3] Alle in den Transformationen auftretenden Argumente $x,\ u,\ \varepsilon ,\ p(x)$ sollen als reell angenommen werden, während die Koeffizienten komplex sein dürfen. Da es sich aber in den Schlußresultaten um Identitäten in den $x,\ u,$ Parametern und willkürlichen Funktionen handelt, gelten diese auch für komplexe Werte, sobald nur alle auftretenden Funktionen als analytisch angenommen werden. Ein großer Teil der Resultate läßt sich übrigens integralfrei begründen, sodaß hier die Beschränkung auf das Reelle auch bei der Begründung nicht notwendig ist. Dagegen scheinen die Betrachtungen am Schlusse von § 2 und Anfang von § 5 nicht integralfrei durchführbar zu sein.

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