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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

und diese Relation stellt also für jedes invariante Integral $I$ eine Identität in allen auftretenden Argumenten dar; es ist die gesuchte Form der Lieschen Differentialgleichungen für $I$^[1].

Sei nun vorerst ${\mathfrak {G}}$ als endliche kontinuierliche Gruppe ${\mathfrak {G}}_{\varrho }$ angenommen; da nach Annahme $\Delta u$ und $\Delta x$ linear in den Parametern $\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{\varrho }$, so gilt nach (9) das gleiche für ${\bar {\delta }}u$ und seine Ableitungen; somit sind $A$ und $B$ linear in den $\varepsilon$. Setze ich daher

$B=B^{(1)}\varepsilon _{1}+\dots +B^{(\varrho )}\varepsilon _{\varrho };\qquad {\bar {\delta }}u={\bar {\delta }}u^{(1)}\varepsilon _{1}+\dots +{\bar {\delta }}u^{(\varrho )}\varepsilon _{\varrho },$

wo also ${\bar {\delta }}u^{(1)},\dots$ Funktionen von $x,\ u,\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots ,$ so folgen aus (12) die gesuchten Divergenzrelationen:

(13)	$\sum \psi _{i}{\bar {\delta }}u_{i}^{(1)}=\mathrm {Div} \ B^{(1)};\dots \qquad \sum \psi _{i}{\bar {\delta }}u_{i}^{(\varrho )}=\mathrm {Div} \ B^{(\varrho )}.$

Es werden also $\varrho$ linear-unabhängige Verbindungen der Lagrangeschen Ausdrücke zu Divergenzen; die lineare Unabhängigkeit folgt daraus, daß nach (9) aus ${\bar {\delta }}u=0,\ \Delta x=0$ auch $\Delta u=0,\ \Delta x=0$ folgen würde, also eine Abhängigkeit zwischen den infinitesimalen Transformationen. Eine solche ist aber nach Voraussetzung für keinen Parameterwert erfüllt; da sonst die aus den infinitesimalen Transformationen durch Integration wieder entstehende ${\mathfrak {G}}_{\varrho }$ von weniger als $\varrho$ wesentlichen Parametern abhinge. Die weitere Möglichkeit ${\bar {\delta }}u=0,\ \mathrm {Div} \,(f\Delta x)=0$ war aber ausgeschlossen. Diese Schlüsse gelten auch noch im Grenzfall von unendlich vielen Parametern.

Sei nun ${\mathfrak {G}}$ eine unendliche kontinuierliche Gruppe ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$; dann werden wieder ${\bar {\delta }}u$ und seine Ableitungen, also auch $B$, linear in den willkürlichen Funktionen $p(x)$ und ihren Ableitungen^[2]; sei durch Einsetzen der Werte von ${\bar {\delta }}u$, noch unabhängig von (12):

$\sum \psi _{i}{\bar {\delta }}u_{i}=$

${\underset {\lambda ,i}{\sum }}\psi _{i}\left\{a_{i}^{(\lambda )}(x,\ u,\ \dots )p^{(\lambda )}(x)+b_{i}^{(\lambda )}(x,\ u,\ \dots ){\frac {\partial p^{(\lambda )}}{\partial x}}+\dots +c_{i}^{(\lambda )}(x,\ u,\ \dots ){\frac {\partial ^{\sigma }p^{(\lambda )}}{\partial x^{\sigma }}}\right\}.$

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1. (12) geht über in $0=0$ für den trivialen Fall — der nur auftreten kann, wenn $\Delta x,\ \Delta u$ auch von Ableitungen der $u$ abhängen — wenn $\mathrm {Div} (f\cdot \Delta x)=0$, ${\bar {\delta }}u=0$; diese infinitesimalen Transformationen sind also stets von den Gruppen abzuspalten; und nur die Anzahl der übrigen Parameter oder willkürlichen Funktionen bei den Formulierungen der Sätze zu zählen. Ob die übrigen infinitesimalen Transformationen noch stets eine Gruppe bilden, muß dahingestellt bleiben.
2. Daß es keine Einschränkung bedeutet, die $p$ von den $u,\ {\frac {\partial u}{\partial x}},\dots$ frei anzunehmen, zeigt die Umkehrung.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 242. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/8&oldid=- (Version vom 1.8.2018)