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	Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme

Nun lassen sich, analog der Formel der partiellen Integration nach der Identität:

$\varphi (x,u,\dots ){\frac {\partial ^{\tau }p(x)}{\partial x^{\tau }}}=(-1)^{\tau }\cdot {\frac {\partial ^{\tau }\varphi }{\partial x^{\tau }}}\cdot p(x)$ mod Divergenzen

die Ableitungen von $p$ ersetzen durch $p$ selbst und durch Divergenzen, die linear in $p$ und seinen Ableitungen werden; somit kommt:

(14)	$\sum \psi _{i}\delta u_{i}=$

${\underset {\lambda }{\sum }}\left\{\left(a_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)+\dots +\left(-1^{\sigma }\right){\frac {\partial ^{\sigma }}{\partial x^{\sigma }}}\left(c_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)\right\}p^{(\lambda )}+\mathrm {Div} \ \Gamma$

und in Verbindung mit (12):

(15)

$\sum \left\{\left(a_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)+\dots +\left(-1\right)^{\sigma }{\frac {\partial ^{\sigma }}{\partial x^{\sigma }}}\left(c_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)\right\}p^{(\lambda )}=\mathrm {Div} \ (B-\Gamma ).$

Ich bilde nun das $n$-fache Integral über (15), erstreckt über irgend ein Gebiet; und wähle die $p(x)$ so, daß sie mit allen in $(B-\Gamma )$ auftretenden Ableitungen am Rande verschwinden. Da das Integral über eine Divergenz sich auf ein Randintegral reduziert, verschwindet also auch das Integral über die linke Seite von (15) für willkürliche, nur am Rande mit genügend vielen Ableitungen verschwindende $p(x)$; und daraus folgt nach bekannten Schlüssen das Verschwinden des Integranden für jedes $p(x)$, also die $\varrho$ Relationen:

(16)	$\sum \left\{\left(a_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(b_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)+\dots +\left(-1\right)^{\sigma }{\frac {\partial ^{\sigma }}{\partial x^{\sigma }}}\left(c_{i}^{(\lambda )}\psi _{i}\right)\right\}=0\quad (\lambda =1,2\dots \varrho )$

Das sind die gesuchten Abhängigkeiten zwischen den Lagrangeschen Ausdrücken und ihren Ableitungen bei Invarianz von $I$ gegenüber ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$; die lineare Unabhängigkeit zeigt sich wie oben, da die Umkehrung auf (12) zurückführt; und da man wieder von den infinitesimalen Transformationen auf die endlichen zurückschließen kann, wie in § 4 näher ausgeführt wird. Danach treten also bei einer ${\mathfrak {G}}_{\infty \varrho }$ schon in den infinitesimalen Transformationen immer $\varrho$ willkürliche Transformationen auf. Aus (15) und (16) folgt noch $\mathrm {Div} \ (B-\Gamma )=0$.

Setzt man entsprechend einer „gemischten Gruppe“ $\Delta x$ und $\Delta u$ linear in den $\varepsilon$ und den $p(x)$ an, so sieht man, indem man einmal die $p(x)$, einmal die $\varepsilon$ Null setzt, daß sowohl Divergenzrelationen (13), wie Abhängigkeiten (16) bestehen.

Empfohlene Zitierweise:
Emmy Noether: Invariante Variationsprobleme. Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse, Weidmannsche Buchhandlung, Berlin 1918, Seite 243. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:InvarianteVariationsprobleme.djvu/9&oldid=- (Version vom 1.8.2018)