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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie.

Von K. Schwarzschild.

(Vorgelegt am 13. Januar 1916 [s. oben S. 42].)

§1. Hr. Einstein hat in seiner Arbeit über die Perihelbewegung des Merkur (s. Sitzungsberichte vom 18. November 1915) folgendes Problem gestellt:

Ein Punkt bewege sich gemäß der Forderung

wobei

${\begin{cases}\delta \int ds=0,\\\\ds={\sqrt {\sum g_{\mu \nu }dx_{\mu }dx_{\nu }}}\quad \mu ,\ \nu =1,2,3,4\end{cases}}\,$

$(1)\,$

ist, $g_{\mu \nu }\,$ Funktionen der Variabeln $x\,$ bedeuten und bei der Variation am Anfang und Ende des Integrationswegs die Variablen $x\,$ festzuhalten sind. Der Punkt bewege sich also, kurz gesagt, auf einer geodätischen Linie in der durch das Linienelement $ds\,$ charakterisierten Mannigfaltigkeit.

Die Ausführung der Variation ergibt die Bewegungsgleichungen des Punktes

${\frac {d^{2}x_{\alpha }}{ds^{2}}}={\underset {\mu ,\ \nu }{\sum }}\Gamma _{\mu \nu }^{\ \alpha }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}},\ \alpha ,\beta =1,2,3,4\,$

$(2)\,$

wobei

$\Gamma _{\mu \nu }^{\ \alpha }=-{\frac {1}{2}}{\underset {\beta }{\sum }}g^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\mu \beta }}{\partial x_{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\nu \beta }}{\partial x_{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\beta }}}\right)\,$

$(3)\,$

ist und $g^{\alpha \beta }\,$ die zu $g_{\alpha \beta }\,$ koordinierte und normierte Subdeterminante in der Determinante $\left|g_{\mu \nu }\right|\,$ bedeutet.

Dies ist nun nach der Einsteinschen Theorie dann die Bewegung eines masselosen Punktes in dem Gravitationsfeld einer im Punkt $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0\,$ befindlichen Masse, wenn die »Komponenten des Gravitationsfeldes« $\Gamma \,$ überall, mit Ausnahme des Punktes $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0\,$, den »Feldgleichungen«

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Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. , Berlin 1916, Seite 1. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:K._Schwarzschild_-_%C3%9Cber_das_Gravitationsfeld_eines_Massenpunktes_nach_der_Einsteinschen_Theorie_(1916).pdf/1&oldid=- (Version vom 1.8.2018)