Seite:K. Schwarzschild - Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie (1916).pdf/3

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wobei Funktionen von sind.

Die Forderung (4) verlangt: Für .

Wenn man zu Polarkoordinaten gemäß übergeht, lautet dasselbe Linienelement:

Indessen ist das Volumenelement in Polarkoordinaten gleich , die Funktionaldeterminante der alten noch den neuen Koordinaten ist von 1 verschieden; es würden also die Feldgleichungen nicht in unveränderter Form bestehen, wenn man mit diesen Polarkoordinaten rechnete, und man würde eine umständliche Transformation ausführen müssen. Ein einfacher Kunstgriff gestattet jedoch, diese Schwierigkeit zu umgehen. Man setze

Dann gilt für das Volumenelement: . Die neuen Variablen sind also Polarkoordinaten von der Determinante 1. Sie haben die offenbaren Vorzüge von Polarkoordinaten für die Behandlung des Problems, und zugleich bleiben für sie, wenn man noch hinzunimmt, die Feldgleichungen und die Determinantengleichung in unveränderter Form erhalten.

In den neuen Polarkoordinaten lautet das Linienelement

wofür wir schreiben wollen

Dann sind drei Funktionen von , welche folgende Bedingungen zu erfüllen haben

  1. Für
  2. Die Determinantengleichung:
  3. Die Feldgleichungen.
  4. Die stetig, außer für

§ 4. Um die Feldgleichungen aufstellen zu können, muß man zunächst die dem Linienelement (9) entsprechenden Komponenten des Gravitationsfeldes bilden. Es geschieht dies am einfachsten, indem