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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

$ds^{2}=Fdt^{2}-G\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)-H\left(xdx-ydy-zdz\right)^{2}\,$

wobei $F,G,H\,$ Funktionen von $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,$ sind.

Die Forderung (4) verlangt: Für $r=\infty :\ F=G=1,\ H=0\,$.

Wenn man zu Polarkoordinaten gemäß $x=r\ \sin \vartheta \ \cos \phi ,\ y=r\ \sin \vartheta \ \sin \phi ,\ z=r\ \cos \vartheta \,$ übergeht, lautet dasselbe Linienelement:

${\begin{array}{ccc}ds^{2}&=&Fdt^{2}-G\left(dr^{2}+r^{2}d\vartheta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\vartheta d\phi ^{2}\right)-Hr^{2}dr^{2}\\&=&Fdt^{2}-\left(G+Hr^{2}\right)dr^{2}-Gr^{2}\left(d\vartheta ^{2}+\sin ^{2}\vartheta d\phi ^{2}\right).\end{array}}\,$

$(6)\,$

Indessen ist das Volumenelement in Polarkoordinaten gleich $r^{2}\sin \vartheta dr\ d\vartheta \ d\phi \,$, die Funktionaldeterminante der alten noch den neuen Koordinaten $r^{2}\sin \vartheta \,$ ist von 1 verschieden; es würden also die Feldgleichungen nicht in unveränderter Form bestehen, wenn man mit diesen Polarkoordinaten rechnete, und man würde eine umständliche Transformation ausführen müssen. Ein einfacher Kunstgriff gestattet jedoch, diese Schwierigkeit zu umgehen. Man setze

$x_{1}={\frac {r^{3}}{3}},\ x_{2}=-\cos \vartheta ,\ x_{3}=\phi .\,$

$(7)\,$

Dann gilt für das Volumenelement: $r^{2}dr\ \sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi =dx_{1}dx_{2}dx_{3}\,$. Die neuen Variablen sind also Polarkoordinaten von der Determinante 1. Sie haben die offenbaren Vorzüge von Polarkoordinaten für die Behandlung des Problems, und zugleich bleiben für sie, wenn man noch $t=x_{4}\,$ hinzunimmt, die Feldgleichungen und die Determinantengleichung in unveränderter Form erhalten.

In den neuen Polarkoordinaten lautet das Linienelement

$ds^{2}=Fdx_{4}^{2}-\left({\frac {G}{r^{4}}}+{\frac {H}{r^{2}}}\right)dx_{1}^{2}-Gr^{2}\left[{\frac {dx_{2}^{2}}{1-x_{2}^{2}}}+dx_{3}^{2}(1-x_{2}^{2})\right],\,$

$(8)\,$

wofür wir schreiben wollen

$ds^{2}=f_{4}\ dx_{4}^{2}-f_{1}\ dx_{1}^{2}-f_{2}{\frac {dx_{2}^{2}}{1-x_{2}^{2}}}-f_{3}\ dx_{3}^{2}\left(1-x_{2}^{2}\right).\,$

$(9)\,$

Dann sind $f_{1},\ f_{2}=f_{3},\ f_{4}\,$ drei Funktionen von $x_{1}\,$, welche folgende Bedingungen zu erfüllen haben

1. Für $x_{1}=\infty :\ f_{1}={\frac {1}{r^{4}}}=(3x_{1})^{-{\frac {4}{3}}},\ f_{2}=f_{3}=r^{2}=(3x_{1})^{\frac {2}{3}},\ x_{4}=1.\,$
2. Die Determinantengleichung: $f_{1}\cdot f_{2}\cdot f_{3}\cdot f_{4}=1.\,$
3. Die Feldgleichungen.
4. Die $f\,$ stetig, außer für $x_{1}=0.\,$

§ 4. Um die Feldgleichungen aufstellen zu können, muß man zunächst die dem Linienelement (9) entsprechenden Komponenten des Gravitationsfeldes bilden. Es geschieht dies am einfachsten, indem

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Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. , Berlin 1916, Seite 3. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:K._Schwarzschild_-_%C3%9Cber_das_Gravitationsfeld_eines_Massenpunktes_nach_der_Einsteinschen_Theorie_(1916).pdf/3&oldid=- (Version vom 13.1.2024)