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	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

Außer diesen drei Gleichungen haben die Funktionen $f_{1},\ f_{2},\ f_{4}$ noch die Determinantengleichung zu erfüllen

d)	$f_{1}f_{2}^{2}f_{4}=1$ oder: ${\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+{\frac {2}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}=0.$

Ich lasse zunächst (b) weg und bestimme die drei Funktionen $f_{1},\ f_{2},\ f_{4}$ aus (a), (c) und (d). (c) läßt sich umstellen in die Form

c')	${\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)={\frac {1}{f_{1}f_{4}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}.$

Das läßt sich unmittelbar integrieren und gibt

c")

${\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}=\alpha f_{1},$

(α Integrationskonstante)

(a) und (c') addiert geben

${\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)=\left({\frac {1}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{f_{4}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}.$

Verbunden mit (d) folgt

$-2{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)=3\left({\frac {1}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}.$

Integriert

${\frac {1}{{\frac {1}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}}}={\frac {3}{2}}x_{1}+{\frac {\rho }{2}}$ (ρ Integrationskonstante)

oder

${\frac {1}{f_{2}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}={\frac {2}{3x_{1}+\rho }}.$

Nochmals integriert

$f_{2}=\lambda (3x_{1}+\rho )^{\frac {2}{3}}.$ (λ Integrationskonstante)

Die Bedingung im Unendlichen fordert: $\lambda =1$. Also

$f_{2}=(3x_{1}+\rho )^{\frac {2}{3}}.$

(10)

Damit ergibt sich weiter aus (c") und (d)

${\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}=\alpha f_{1}f_{4}={\frac {\alpha }{f_{2}^{2}}}={\frac {\alpha }{(3x_{1}+\rho )^{\frac {2}{3}}}}.$

Integriert in Rücksicht auf die Bedingung im Unendlichen

$f_{4}=1-\alpha (3x_{1}+\rho )^{-{\frac {1}{3}}}.$

(11)

Nunmehr aus (d)

$f_{1}={\frac {(3x_{1}+\rho )^{-{\frac {4}{3}}}}{1-\alpha (3x_{1}+\rho )^{-{\frac {1}{3}}}}}.$

(12)

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. , Berlin 1916, Seite 193. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:K._Schwarzschild_-_%C3%9Cber_das_Gravitationsfeld_eines_Massenpunktes_nach_der_Einsteinschen_Theorie_(1916).pdf/5&oldid=- (Version vom 1.8.2018)