Seite:K. Schwarzschild - Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie (1916).pdf/7

	Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie

nichts Neues hinzu, da von selbst nur im Nullpunkt Unstetigkeiten auftreten. Es scheinen also die beiden Konstanten α und ρ willkürlich zu bleiben, womit das Problem physikalisch unbestimmt wäre. Die strenge Lösung lehrt, daß in Wirklichkeit bei der Fortsetzung der Näherungen die Unstetigkeit nicht im Nullpunkt, sondern an der Stelle $r=\left(\alpha ^{3}-\rho \right)^{\frac {1}{3}}$ eintritt, und daß man gerade $\rho =\alpha ^{3}$ setzen muß, damit die Unstetigkeit in den Nullpunkt rückt. Man müßte bei der Annäherung nach Potenzen von α und ρ das Gesetz der Koeffizienten schon sehr gut überblicken, um die Notwendigkeit dieser Bindung zwischen α und ρ zu erkennen.

§ 6. Es ist schließlich noch die Bewegung eines Punktes im Gravitationsfelde, die zu dem Linienelement (14) gehörige geodätische Linie, abzuleiten. Aus den drei Umständen, daß das Linienelement homogen in den Differentialen ist und seine Koeffizienten unabhängig von t und von ρ sind, ergeben sich bei der Variation sofort drei intermediäre Integrale. Beschränkt man sich gleich auf die Bewegung in der Äquatorebene ($\vartheta =90^{\circ },\ d\vartheta =0$) so lauten diese intermediären Integrale:

$(1-\alpha /R)\left({\frac {dt}{ds}}\right)^{2}-{\frac {1}{1-\alpha /R}}\left({\frac {dR}{ds}}\right)^{2}-R^{2}\left({\frac {d\phi }{ds}}\right)^{2}=const.=h,$

(15)

$R^{2}{\frac {d\phi }{ds}}=const.=c,$

(16)

$(1-\alpha /R){\frac {dt}{ds}}=const.=1$ (Festlegung der Zeiteinheit).

(17)

Daraus folgt

$\left({\frac {dR}{d\phi }}\right)^{2}+R^{2}(1-\alpha /R)={\frac {R^{4}}{c^{2}}}[1-h(1-\alpha /R)]$

oder für $1/R=x$

$\left({\frac {dx}{d\phi }}\right)^{2}={\frac {1-h}{c^{2}}}+{\frac {h\alpha }{c^{2}}}x-x^{2}+\alpha x^{3}.$

(18)

Führt man die Bezeichnungen: ${\frac {c^{2}}{h}}=B,\ {\frac {1-h}{h}}=2A$ ein, so ist dies identisch mit Hrn. Einsteins Gleichung (11) a. a. 0. und gibt die beobachtete Anomalie des Merkurperihels.

Überhaupt geht hiernach Hrn. Einsteins Annäherung für die Bahnkurve in die strenge Lösung über, wenn man nur statt r die Größe

$R=\left(r^{3}+\alpha ^{3}\right)^{\frac {1}{3}}=r\left(1+{\frac {\alpha ^{3}}{r^{3}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

Empfohlene Zitierweise:
Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. , Berlin 1916, Seite 195. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:K._Schwarzschild_-_%C3%9Cber_das_Gravitationsfeld_eines_Massenpunktes_nach_der_Einsteinschen_Theorie_(1916).pdf/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)