Seite:Lorentzgruppe (Klein).djvu/3

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die Kreise der Ebene und die Kugeln des Raumes — also die Hauptobjekte der metrischen Betrachtung — als Kegelschnitte, bzw. Flächen zweiten Grades angesehen werden können, die mit dem Unendlichkeiten der Ebene, bzw. des Raumes ein bestimmtes durch eine Gleichung zweiten Grades gegebenes, imaginäres Gebilde gemein haben, — die sogenannten Kreispunkte der Ebene, bzw. den Kugelkreis des Raumes. Nun ist Cayleys Leistung, erkannt zu haben, daß in diesen Ponceletschen Aussagen das Mittel gegeben ist, die genannte Trennung der Geometrie in zweierlei einander fremde Disziplinen wieder rückgängig zu machen, oder vielmehr sie durch eine prinzipiell andere Auffassung zu ersetzen. Sein Resultat ist, — wie alle grundlegenden Gedanken der mathematischen Wissenschaft — , äußerst einfach: alle Maßbeziehungen geometrischer Figuren können ohne weiteres als projektive Beziehungen aufgefaßt werden, sofern man den Figuren — je nachdem sie eben oder räumlich sind — die Kreispunkte, bzw. den Kugelkreis hinzufügt; die Maßgeometrie erscheint so als dasjenige Stück der projektiven Geometrie, das von Figuren handelt, bei denen das Paar der Kreispunkte, bzw. der Kugelkreis beteiligt ist.

Diese Aussage wird sehr viel deutlicher werden, wenn ich einige einfachste Formeln schreibe.

Zunächst nur in der Ebene. Seien gewöhnliche rechtwinklige Punktkoordinaten. Wir setzen, homogen machend, ; wir nennen ferner die homogenen Koordinaten der durch die Gleichung dargestellten geraden Linie. Das Kreispunktepaar ist dann in Punktkoordinaten durch die Nebeneinanderstellung der beiden Gleichungen

(1)

gegeben, in Linienkoordinaten aber als Umhüllungsgebilde aller Geraden, welche die eine Gleichung

(2)

erfüllen. — Man beachte nun, um bei dem Einfachsten zu bleiben, die Formel für die Entfernung zweier Punkte

.

Wir schreiben, homogen machend:

und erhalten:

(3) .

Hier verschwindet der Zähler, wenn die beiden gegebenen Punkte mit

Empfohlene Zitierweise:

Felix Klein: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. Julius Springer, Berlin 1921, Seite 535. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Lorentzgruppe_(Klein).djvu/3&oldid=2603862 (Version vom 3.5.2016)