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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

und die Kraft, mit welcher der ganze Ring den Körper P zieht, sich wie

der Ring und

\scriptstyle {\frac {AP}{PE}}

· FK

zusammengesetzt verhalten. Dieser Ring ist aber proportional dem Rechteck, dessen Seiten der Radius AE und die Breite Ee sind, und dieses Rechteck wird (weil PE : AE = Ee : CE)

= PE · CE = PE · fF.

Mithin verhält sich die Kraft, mit welcher jener Ring den Körper P gegen A zieht, wie

PE · fP ·

\scriptstyle {\frac {AP}{PE}}

· FK = fF · AP · FK,

oder wie das Produkt aus der Fläche FK kf in AP.

Die Summe der Kräfte, mit denen alle Ringe in dem zum Mittelpunkte A und Radius AD beschriebenen Kreise den Körper P gegen A ziehen, verhält sich daher wie das Produkt der ganzen Fläche AHJKL in AP. W. z. b. w.

Zusatz 1. Nehmen die Kräfte im doppelten Verhältniss der Abstände ab, d. h. ist FK proportional $\scriptstyle {\frac {1}{PF^{2}}}$ , also die Fläche AHJKL proportional

\scriptstyle {\frac {1}{PA}}-{\frac {1}{PH}}

;^[1]

so verhält sich die Anziehung des Körpers P gegen den Kreis wie

\scriptstyle 1-\scriptstyle {\frac {AP}{PH}}={\frac {AH}{PH}}

.

Zusatz 2. Verhalten sich allgemein die Kräfte der Punkte im Abstände D umgekehrt wie irgend eine Potenz des letztern, d. h. FK wie $\scriptstyle {\frac {1}{D^{n}}}$ , also AHkKL wie

\scriptstyle {\frac {1}{AP^{n-1}}}-{\frac {1}{PH^{n-1}}}

;^[2]

so verhält sich die Anziehung des Körpers P gegen den Kreis, wie

\scriptstyle {\frac {1}{AP^{n-2}}}-{\frac {AP}{PH^{n-1}}}

.

Zusatz 3. Wird der Durchmesser des Kreises ins Unendliche vergrössert, und ist

n > 1;

so verhält sich die Anziehung des kleinen Körpers P gegen die ganze unendlich grosse Ebene umgekehrt wie

AP^n-2,

weil das andere Glied $\scriptstyle {\frac {PA}{PH^{n-1}}}$ , verschwindet.^[3]

§. 137. Aufgabe. Man soll die Anziehung bestimmen, welche auf der Axe eines festen runden Körpers gelegener, kleiner Körper von diesem erleidet; wenn nach den einzelnen Punkten des letzteren

↑ [590] No. 69. S. 215. Setzt man PF = x, FK = y, so wird (Fig. 120.) $\scriptstyle AHJKL=\int \limits _{PA}^{PH}ydx=\int \limits _{PA}^{PH}{\frac {dx}{x^{2}}}={\frac {1}{PA}}-{\frac {1}{PH}}={\frac {AH}{PA\cdot PH}}$ .
↑ [590] No. 70. S. 215. Hier wird $\scriptstyle \int \limits _{AP}^{PH}ydx=\int \limits _{PA}^{PH}{\frac {dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left[{\frac {1}{PA^{n-1}}}-{\frac {1}{PH^{n-1}}}\right].$
↑ [590] No. 71. S. 215. Es ist nämlich PH = PD = $\scriptstyle {\sqrt {AP^{2}+AD^{2}}}$ , wo AP constant. [591] Wenn daher AD = ∞ ist, so wird auch PH = ∞, und so für n > 1, $\scriptstyle {\frac {PA}{PH^{n-1}}}={\frac {PA}{\infty }}=0$ .

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 215. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/223&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [590] No. 69. S. 215. Setzt man PF = x, FK = y, so wird (Fig. 120.) $\scriptstyle AHJKL=\int \limits _{PA}^{PH}ydx=\int \limits _{PA}^{PH}{\frac {dx}{x^{2}}}={\frac {1}{PA}}-{\frac {1}{PH}}={\frac {AH}{PA\cdot PH}}$ .

[2] [590] No. 70. S. 215. Hier wird $\scriptstyle \int \limits _{AP}^{PH}ydx=\int \limits _{PA}^{PH}{\frac {dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left[{\frac {1}{PA^{n-1}}}-{\frac {1}{PH^{n-1}}}\right].$

[3] [590] No. 71. S. 215. Es ist nämlich PH = PD = $\scriptstyle {\sqrt {AP^{2}+AD^{2}}}$ , wo AP constant. [591] Wenn daher AD = ∞ ist, so wird auch PH = ∞, und so für n > 1, $\scriptstyle {\frac {PA}{PH^{n-1}}}={\frac {PA}{\infty }}=0$ .

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