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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

geometrischer Progression, und es verhalten sich die in den einzelnen Zeiten beschriebenen Wege wie die Geschwindigkeiten.

Erster Fall. Ist die Zeit in gleiche Stücke getheilt, und wirkt im Anfange eines jeden der letzteren, die der Geschwindigkeit proportionale Kraft des Widerstandes durch einen einzelnen Stoss; so verhält sich die Abnahme der Geschwindigkeit in den einzelnen Zeittheilchen wie dieselbe Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeiten sind daher ihren Unterschieden proportional und stehen mithin (nach §. 2.) selbst in stetiger Proportion.^[1] Setzt man nun aus einer gleichen Anzahl von Zeittheilchen beliebige gleiche Zeiten zusammen, so verhalten sich die Geschwindigkeiten im Anfange dieser Zeiten selbst, wie diejenigen Glieder einer stetigen Progression, welche man sprungweise genommen hat, indem man immer eine gleiche Anzahl zwischenliegender Glieder überschlägt. Die Verhältnisse dieser Glieder werden aber aus den, gleich oft wiederholten, gleichen Verhältnissen der zwischenliegenden Glieder zusammengesetzt, und sind daher gleich.^[2] Die diesen Gliedern proportionalen Geschwindigkeiten stehen demnach in geometrischer Progression. Vermindert man in’s Unendliche jene gleichen Zeittheilchen und vermehrt man ebenso ihre Anzahl so weit, das der Impuls des Widerstandes ein stetiger wird; so werden die im Anfange der gleichen Zeiten immer stetig proportionalen Geschwindigkeiten auch in diesem Falle in stetiger Proportion stehen. W. z. b. w.

Zweiter Fall. Aus dem Obigen folgt auch, dass die Unterschiede der Geschwindigkeiten, d. h. die in den einzelnen Zeiten verlorenen Theile derselben sich wie die ganzen Geschwindigkeiten verhalten. Die in den einzelnen Zeiten beschriebenen Wege verhalten sich aber (nach §. 1.) wie die verlorenen Theile der Geschwindigkeiten und daher wie diese selbst. W. z. b. w.

Fig. 133.

Zusatz. Man beschreibe zu den rechtwinkligen Asymptoten ADC und CH die Hyperbel BG und ziehe AB und GD auf AC perpendikulär. Drückt man nun sowohl die Geschwindigkeit des Körpers, als auch den Widerstand des Mittels im Anfange der Bewegung durch die beliebige constante Linie AC, nach Verlauf einiger Zeit aber durch die unbestimmte Linie DC aus; so kann die Zeit durch die Fläche ABGD, und der in derselben beschriebene Weg durch die Linie AD ausgedrückt werden.^[3] Wird nämlich jener Flächenraum nach der Weise der Zeit gleichförmig durch die Bewegung des Punktes D vergrössert; so wird DC in geometrischem Verhältniss nach der Weise der Geschwindigkeit vermindert und es nehmen die in gleichen Zeiten beschriebenen Theile der Geraden AC in demselben Verhältniss ab.

§. 4. Aufgabe. Ein Körper steigt in einem ähnlichen Mittel

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1. No. 82. S. 231. Ist die ganze Zeit t = nτ gesetzt, wo n beliebig gross, so bilde man folgendes Tableau:

   Zeittbeile:	τ,	2τ,	3τ,	4τ,	etc. . .	nτ
   Geschwindigkeiten:	v,	vI,	vII,	vIII,	etc.
   Decremente der Geschwindigkeit:	av,	avI,	arII,	avIII,	etc.

   Alsdann ist

   v — av = v^I, v^I — av^I = v^II, v^II — av^II = v^III, v^III — av^III = v^IV = etc.,

   also auch

   v : v — v^I = v^I : v^I — v^II = v^II : v^II - v^III = v^III : v^III — v^IV = etc. = $\scriptstyle {\frac {1}{a}}$

   und nach §. 2. v : v^I = v^I : v^II = v^II : v^III = v^III : v^IV = etc.

2. No. 83. S. 231. Aus dem vorhergehenden Tableau erhält man z. B. $\scriptstyle v:v^{IV}=\left\{{\begin{array}{cc}v&:v^{I}\\v^{I}&:v^{II}\\v^{II}&:v^{III}\\v^{III}&:v^{IV}\end{array}}\right\}={\frac {1}{a^{4}}}$

   eben so v^IV : v^VIII = $\scriptstyle {\frac {1}{a^{4}}}$; mithin v^IV = a⁴v, v^VIII = a⁴ · v^IV = a⁸ · v.

3. No. 84. S. 231. (Fig. 133.) Setzt man CD = x und DG = y, so ist die Gleichung der Hyperbel 1.   xy = a, wo a constant,

   Die hyperbolische Fläche wird daher

   2.   $\scriptstyle A=\int ydx=a\int {\frac {dx}{x}}$ = a log. hyp. x = log. hyp. (x^a).

   Eine zweite hyperbolische Fläche sei

   3.   A^I = log. hyp. (x^Ia)

   Setzt man nun voraus, dass A^I — A = Constans sei, so wird offenbar log. (x^Ia) — log. (x^a) = log. $\scriptstyle \left({\frac {x^{I}}{x}}\right)^{a}$ = Constans oder auch

   4.   x^I : x = Constans.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 231. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/239&oldid=- (Version vom 1.8.2018)