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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

daher im doppelten Verhältnisse der unendlich kleinen Zeiten T und t. Hiernach ist also

12. t : T = $\scriptstyle {\sqrt {R+3S\xi }}:{\sqrt {R}}$ = R + 3/2Sξ ... : R

Substituirt man nun die gefundenen Werthe von

$\scriptstyle {\frac {t}{T}}$, GH, HJ, MJ und NJ

aus 12., 10., 8. und 9. im Gl. 6.; so verhält sich der Widerstand zur Schwere, wie

13.   $\scriptstyle {\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}:2R\xi ^{2}=3S{\sqrt {1+Q^{2}}}+4R^{2}$.^[1]

Die Geschwindigkeit ist ferner diejenige, mit welcher der von H längs der Tangente HN ausgehende Körper sich im leeren Räume in einer Parabel bewegen könnte, deren

Durchmesser = HC Parameter = $\scriptstyle {\frac {HN^{2}}{NJ}}={\frac {1+Q^{2}}{R}}$^[2].

Der Widerstand verhält sich wie die Dichtigkeit des Mittels und das Quadrat der Geschwindigkeit zusammengesetzt. Mithin die Dichtigkeit direct wie der Widerstand, und indirect wie das Quadrat der Geschwindigkeit, d. h.

direct wie $\scriptstyle {\frac {3S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{3R^{2}}}$ und indirect wie $\scriptstyle {\frac {1+Q^{2}}{R}}$,

also wie

14.   $\scriptstyle {\frac {S}{R{\sqrt {1+Q^{2}}}}}$^[3]

Zusatz 1. Verlängert man die Tangente HN beiderseits, bis sie die beliebige Ordinate AF in T schneidet, so wird

$\scriptstyle {\frac {HT}{AC}}={\sqrt {1+Q^{2}}}$

und es kann daher dieser Quotient statt $\scriptstyle {\sqrt {1+Q^{2}}}$ in den obigen Werthen gesetzt werden. Nach Gl. 13. verhält sich also der Widerstand zur Schwere, wie

3S · HT : 4R² AC.

Die Geschwindigkeit wird proportional $\scriptstyle {\frac {HT}{AC\cdot {\sqrt {R}}}}$,

die Dichtigkeit des Mittels wird proportional $\scriptstyle {\frac {S\cdot AC}{R\cdot HT}}$,

Zusatz 2. Bestimmt man die Curve PFHQ (wie es gebräuchlich ist) durch eine Relation zwischen der Basis oder Abscisse AC und der Ordinate HC, und löst man den Werth der letzteren in eine convergirende Reihe auf; so dienen die ersten Glieder der letzteren kurz zur Auflösung der Aufgabe. Wir werden dies an den folgenden Beispielen sehen.

Beispiel 1. Es sei PFHQ ein Halbkreis, der über dem Durchmesser PQ beschrieben ist; man sucht die Dichtigkeit des Mittels, welche

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1. No. 112. S. 254. Nach Gl. 12. und 10. ist (Fig. 144.) $\scriptstyle {\frac {t}{T}}$ · GH = $\scriptstyle \left(1+{\frac {3S\xi }{2R}}\right)\left(\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}\right)$ $\scriptstyle =\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {3S\xi ^{2}{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}-{\frac {3QS\xi ^{3}}{2{\sqrt {1+Q^{2}}}}}$

   nach Gl. 10. $\scriptstyle -HJ=-\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}-{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}$ nach Gl. 8. 9. und 10.

   $\scriptstyle +{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{HJ}}={\frac {2\left[Q\xi +R\xi ^{2}+S\xi ^{3}\dots \right]\cdot \left[R\xi ^{2}+S\xi ^{2}\dots \right]}{\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}}}$ $\scriptstyle ={\frac {2QR\xi ^{3}+2QS\xi ^{4}+\dots }{\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}}}=+{\frac {QR\xi ^{2}}{\sqrt {1+Q^{2}}}}+\dots$

   mithin $\scriptstyle {\frac {t}{T}}GH-HJ+{\frac {2\cdot MJ\cdot NJ}{HJ}}={\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}\dots$ und nach 6. der Widerstand : Schwere $\scriptstyle {\frac {3S\xi ^{2}}{2R}}{\sqrt {1+Q^{2}}}:2R\xi ^{2}=3S{\sqrt {1+Q^{2}}}:4R^{2}$.

2. No. 113. S. 254. Für CH als Durchmesser ist nämlich NJ = x die Abscisse, HN = y die Ordinate, und da allgemein die Gleichung der Parabel y² = px ist, $\scriptstyle p={\frac {y^{2}}{x}}={\frac {HN^{2}}{NJ}}={\frac {\xi ^{2}\left(1+Q^{2}\right)}{R\cdot \xi ^{2}}}={\frac {1+Q^{2}}{R}}$.
3. No. 114 S. 254. Im Anfang dieses Paragraphen haben wir gesehen, dass die Zeit, in welcher der Körper den Bogen $\scriptstyle \xi {\sqrt {1+Q^{2}}}$ beschreibt, im halben Verhältniss der Höhe NJ steht, welche der Körper beim Falle von der Tangente HN in derselben Zeit beschreiben könnte. Nennt man jene kleine Zeit τ so ist $\scriptstyle \tau =\alpha {\sqrt {NJ}}$, wo α constant. Die Geschwindigkeit, womit HJ beschrieben wird, ist daher $\scriptstyle {\frac {HJ}{\tau }}={\frac {\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}}{\alpha {\sqrt {NJ}}}}={\frac {\xi {\sqrt {1+Q^{2}}}}{\alpha \xi {\sqrt {R}}}}$, d. h. proportional $\scriptstyle {\frac {\sqrt {1+Q^{2}}}{\sqrt {R}}}$ und ihr Quadrat proportional $\scriptstyle {\frac {1+Q^{2}}{R}}$. Bezeichnet man ξ durch Δx, so wird nach dem Taylor’schen Satze die obige Reihe allgemein: $\scriptstyle y+{\frac {dx}{dx}}\Delta x+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\Delta x^{2}+{\frac {1}{2\cdot 3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\Delta x^{3}+$ etc.

   also $\scriptstyle Q={\frac {dy}{dx}}$, $\scriptstyle R={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}y}{d^{2}x}}$, $\scriptstyle S={\frac {1}{2\cdot 3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$ die Dichtigkeit des Mittels proportional $\scriptstyle {\frac {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}{{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}}}={\frac {d^{3}y}{d^{2}y{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}}$.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 254. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/262&oldid=- (Version vom 1.8.2018)