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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

geschehen, weil gleiche Kräfte gleiche Körperchen durch gleiche Räume treiben. Da nun die Schwingungsseiten im halben Verhältniss der Pendellängen stehen, und die Länge des Pendels der Hälfte des ganzen cycloïdischen Bogens gleich ist; so würde die Zeit Einer Vibration sich zur Schwingungszeit eines Pendels von der Länge A verhalten, wie $\scriptstyle {\sqrt {{\frac {1}{2}}PS}}:{\sqrt {A}}$ , d. h. wie $\scriptstyle {\sqrt {PO}}:{\sqrt {A}}$ . Die elastische Kraft, durch welche die kleine physische Linie EG in ihren äussersten Punkten P und S angetrieben wird, verhielt sich aber (in §. 68.) zu ihrer ganzen elastischen Kraft, wie HL — KN : V, d. h. (da K jetzt mit P zusammenfällt) wie HK : V^[1]. Ferner verhält sich jene ganze Kraft, d. h. das aufliegende Gewicht, wodurch die kleine Linie EG zusammengedrückt wird, zum Gewicht der letztern, wie die Höhe A des aufliegenden Gewichtes zur Länge EG der Linie, d. h. wie A : EG. Man erhält daher durch Zusammensetzung das Verhältniss der auf EG in P und S einwirkenden Kraft zum Gewicht dieser kleinen Linie, wie HK · A : V · EG oder wie PO · A : V², weil früher (§. 68., Gl. 2,) HK : EG = PO : V war. Da nun die Zeiten, in denen gleiche Körper durch gleiche Wege getrieben werden, im umgekehrten halben Verhältniss der Kräfte stehen^[2]; so wird die Zeit Einer Vibration unter Einwirkung des Gewichts sich verhalten, wie $\scriptstyle {\sqrt {V^{2}}}:{\sqrt {PO\cdot A}}$ , und zur Zeit Einer Oscillation des Pendels von der Länge A, wie $\scriptstyle {\sqrt {V^{2}}}:{\sqrt {PO\cdot A}}$ und $\scriptstyle {\sqrt {PO\cdot A}}:{\sqrt {A}}$ zusammengesetzt, d. h. wie V : A.

Es legt aber in der Zeit Einer, aus Hin- und Hergang zusammengesetzten Vibration der Stoss fortschreitend seine Breite BC zurück. Es verhält sich daher die Zeit, in welcher der Stoss den Weg BC zurücklegt, zur Zeit Einer aus Hin- und Hergang zusammengesetzten Oscillation, wie V : A, d. h. wie BC zur Peripherie des mit dem Radius A beschriebenen Kreises.

Ferner steht die Zeit, in welcher der Stoss den Weg BC zurücklegt, zu der Zeit, in welcher er eine dieser Peripherie gleiche Länge zurücklegen würde, in demselben Verhältniss. Daher wird, in der Zeit einer solchen Oscillation, der Stoss die Länge dieser Peripherie beschreiben.

Zusatz 1. Die Geschwindigkeit der Stösse ist dieselbe, welche schwerere Körper erlangen würden, indem sie, mit gleichförmig beschleunigter Bewegung fallend, ½A zurücklegten. In der Zeit dieses Falles wird nämlich, mit der während desselben erlangten Geschwindigkeit, der Stoss einen Weg zurücklegen, welcher der ganzen Höhe A gleich ist, und daher wird er in der Zeit einer, aus Hin- und Hergang zusammengesetzten, Schwingung einen Weg zurücklegen, welcher der mit dem Radius A beschriebenen Peripherie gleich ist. Es verhält sich nämlich die Zeit des Falles zu der Schwingungszeit, wie der Radius eines Kreises zu seiner Peripherie.

Zusatz 2. Da nun jene Höhe A sich verhält, wie direct die elastische Kraft der Flüssigkeit und in direct die Dichtigkeit derselben; so steht die Geschwindigkeit der Stösse in einem Verhältniss, welches

↑ [615] No. 186. S. 365. (Fig. 184.) Es ist nämlich HL = sin PH und KN = sin PK. Fällt nun K mit P zusammen, so wird KN = sin O = 0 und es kann HL = sin PH alsdann = PH oder = KH gesetzt werden, weil wegen der Kleinheit der Linie EG der Bogen KH = PH nothwendig sehr klein ist.
↑ [615] No. 187. S. 365. Setzt man die eine Kraft; = 2g, die andere = 2g', die [616] entsprechenden Zeiten = t und t' und den von beiden beschriebenen gleichen Weg = s, so hat man s = gt² und s = g't'² also gt² = g't'² und t : t' = $\scriptstyle {\sqrt {g'}}:{\sqrt {g}}={\sqrt {2g'}}:{\sqrt {2g}}$ .

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 365. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/373&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [615] No. 186. S. 365. (Fig. 184.) Es ist nämlich HL = sin PH und KN = sin PK. Fällt nun K mit P zusammen, so wird KN = sin O = 0 und es kann HL = sin PH alsdann = PH oder = KH gesetzt werden, weil wegen der Kleinheit der Linie EG der Bogen KH = PH nothwendig sehr klein ist.

[2] [615] No. 187. S. 365. Setzt man die eine Kraft; = 2g, die andere = 2g', die [616] entsprechenden Zeiten = t und t' und den von beiden beschriebenen gleichen Weg = s, so hat man s = gt² und s = g't'² also gt² = g't'² und t : t' = $\scriptstyle {\sqrt {g'}}:{\sqrt {g}}={\sqrt {2g'}}:{\sqrt {2g}}$ .

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