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	Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie

Werthe der Veränderlichen gleich Null sein kann, ohne daß alle Coefficienten gleich Null sind.

In diesem Sinn besitzt also das System der Gleichungen (1) den Charakter der Vollständigkeit.

Betrachtet man jetzt die Hamilton’schen Quaternionen, so bleiben von den Gleichungen (1) nur die folgenden bestehen:

(2)	$\left\{{\begin{aligned}a+b&=b+a\\(a+b)+c&=a+(b+c)\\(ab)\cdot c&=a\cdot (bc)\\(a+b)\cdot c&=ac+bc.\end{aligned}}\right.$

Dazu muß wegen des Wegfalls des commutativen Gesetzes bei der Multiplication noch die Gleichung

(2)	$c(a+b)=ca+cb$

besonders hinzugefügt werden.

Es erhebt sich nun die Frage, ob dieses letzte Gleichungssystem für die Quaternionen in derselben Weise vollständig ist, wie das andere für die gewöhnlichen complexen Größen. Diese Frage ist zu verneinen.

Bedeuten $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ Quaternionen, welche als willkürlich veränderlich gedacht werden, so mögen aus diesen wieder durch Addition und Multiplication zusammengesetzte Ausdrücke gebildet werden. Es ist vortheilhaft noch gewissen constante reelle Größen als Multiplicatoren mit hinzuzunehmen, man hat dann zugleich auch die Subtraction mit in den Kreis der Operationen eingeschlossen. Für die Multiplication der Quaternionen mit reellen Größen $p,q,$ hat man dann noch die Gleichungen hinzuzunehmen

(3)	${\begin{aligned}p(a+b)&=pa+pb\\(p+q)a&=pa+qa\\(pa)\cdot (qb)&=pq(ab)\\p\cdot (qa)&=(pq)\cdot a.\end{aligned}}$

Will man nun eine in der angegebenen Weise zusammengesetzte, von $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ abhängende Quaternion darauf untersuchen, ob dieselbe für alle Werthe dieser Veränderlichen gleich Null ist, so hat man nur in die vier Bestandtheile aufzulösen. Jede Quaternion $a_{k}$ ist nichts anderes als ein Symbol

$a_{k}=\alpha _{k}i_{0}+\beta _{k}i_{1}+\gamma _{k}i_{2}+\delta _{k}i_{3},$

wo $\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k},\delta _{k}$ reelle Größen sind, und wobei die Multiplication der Symbole durch die Multiplicationsformeln für die Einheiten

Empfohlene Zitierweise:
Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 35. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Bemerkung_zur_Quaternionentheorie_1889.pdf/2&oldid=- (Version vom 1.8.2018)