Seite:Otto Hölder Bemerkung zur Quaternionentheorie 1889.pdf/3

	Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie

$i_{0}^{2}=i_{0},\quad i_{0}i_{1}=i_{1}i_{0}=i_{1},\quad i_{0}i_{2}=i_{2}i_{0}=i_{2},\quad i_{0}i_{3}=i_{3}i_{0}=i_{3},$ ${\begin{aligned}i_{1}^{2}&=-i_{0},&i_{2}^{2}&=-i_{0},&i_{3}^{2}=-i_{0},\\i_{1}i_{2}&=i_{3},&i_{2}i_{3}&=i_{1},&i_{3}i_{1}=i_{2}\\i_{2}i_{1}&=-i_{3},&i_{3}i_{2}&=-i_{1},&i_{1}i_{3}=-i_{2}\end{aligned}}$[1]

definirt ist. Löst man also die Quaternionen auf, so führen die Gleichungen (1) zum Ziel. Es ist aber nicht möglich, wie nachher gezeigt wird, die Untersuchungen dadurch schon zu führen, daß man, ohne die Quaternionen in ihre Bestandtheile aufzulösen, den betreffenden Quaternionenausdruck mit Hilfe der Gleichungen (2) und (3) identisch zu Null zu machen sucht.

Man kann dagegen die Frage aufwerfen, ob man den Gleichungen (2) noch eine oder mehrere Gleichungen hinzufügen kann, so daß das System dadurch ein im angegebenen Sinne vollständiges ist.

Die zu untersuchenden Ausdrücke sind nichts Anderes als ganze Functionen von Quaternionen mit reellen Coefficienten. Man setze jetzt für $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ die Quaternionen

$t_{1}a_{1},t_{2}a_{2},\ldots t_{n}a_{n},$

wo $t_{1},t_{2},\ldots t_{n}$ beliebige reelle Größen sind, so kann man auch nach diesen letzteren ordnen. Wenn der Ausdruck für alle Werthe der $a_{1},\ldots a_{n}$, also auch der Größen $t$ verschwindet, ergiebt eine nähere Ueberlegung, daß die Quaternion verschwinden muß, welche mit dem Product

$t_{1}^{m_{1}}t_{2}^{m_{2}}\ldots t_{n}^{m_{n}}$

multiplicirt ist. Es muß also dann ein Ausdruck gleich Null sein in dessen sämmtlichen Gliedern $a_{1}$ genau $m_{1}$ Mal, $a_{2}$ genau $m_{2}$ Mal, $\ldots a_{n}$ genau $m_{n}$ Mal als Factor vorkommt. Es könnten also noch Gleichungen von folgender Form hinzukommen:

(4)	$\sum C_{s_{1}s_{2}\ldots s_{\nu }}a_{s_{1}}a_{s_{2}}\ldots a_{s_{\nu }}=0,$

wo die Größen $C_{s_{1}s_{2}\ldots s_{\nu }}$ reelle Coefficienten sind, und die Summe über gewisse Permutationen $s_{1},s_{2},\ldots s_{\nu }$ bestimmter Zahlen $r_{1},r_{2},\ldots r_{\nu }$ sich erstreckt. Die Zahlen $r$ sind aus der Reihe $1,2,\ldots n$ entnommen, und es können auch gleiche unter denselben sein.

Hier möge nur der Fall betrachtet werden, in welchem die Größen $r_{1},r_{2},\ldots r_{\nu }$ von einander verschieden sind; man könnte die andern Fälle auf diesen zurückführen, was hier nicht ausgeführt werden soll. Man denke sich jetzt

$\alpha _{r_{1}}i_{0}+\beta _{r_{1}}i_{1}+\gamma _{r_{1}}i_{2}+\delta _{r_{1}}i_{3}$

Anmerkungen (Wikisource)

1. Dritte Zeile zweite Gleichung korrigiert. Vorlage: $i_{2}i_{2}=i_{1}$

Empfohlene Zitierweise:
Otto Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 36. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Bemerkung_zur_Quaternionentheorie_1889.pdf/3&oldid=- (Version vom 18.8.2016)