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4.

Unter der Voraussetzung, daß die Function einen zweiten Differentialquotienten besitzt, kann noch eine weitere Schlußfolgerung gezogen werden. Zunächst gewinnt der Satz jetzt die Form, daß

ist, je nachdem der zweite Differentialquotient in dem ganzen in Betracht kommenden Intervall positiv oder im ganzen Intervall negativ ist.

Ich lasse jetzt die Voraussetzung fallen, daß der erste Differentialquotient immer zunehmen oder immer abnehmen soll. Die Function kann also ihr Vorzeichen ändern, dieselbe möge aber zwischen endlichen Grenzen bleiben in dem betrachteten Intervall, in welchem die Argumente gelegen sind. sei die obere, die untere Grenze dieser Function. Es ist dann

eine Function mit positivem und

eine Function mit negativem zweiten Differentialquotienten.

Wendet man auf jede dieser beiden Functionen den gefundenen Satz an, so ergiebt sich, wenn jetzt an Stelle von gesetzt wird, daß der Ausdruck

größer ist als

und kleiner als

Es ist also

wo

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Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 41. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/4&oldid=- (Version vom 1.8.2018)