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	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

einen zwischen $N$ und $M$ gelegenen Werth bedeutet und $S$ eine Abkürzung ist:

$S=(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})(a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2})-(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n})^{2}.$

Dieser Ausdruck kann auch so dargestellt werden:

$S=\sum _{\nu ,\mu }a_{\nu }a_{\mu }x_{\mu }^{2}-\sum _{\nu ,\mu }a_{\nu }a_{\mu }x_{\nu }x_{\mu },$

wo die Summationsbuchstaben $\nu$ und $\mu$ in den Doppelsummen die ganzen Zahlen von 1 bis $n$ durchlaufen. Der Ausdruck

$\sum _{\nu ,\mu }a_{\nu }a_{\mu }x_{\nu }^{2}-\sum _{\nu ,\mu }a_{\nu }a_{\mu }x_{\nu }x_{\mu }$

ist mit dem vorhergehenden identisch. Bildet man die halbe Summe von beiden, so erhält man

$S={\tfrac {1}{2}}\sum _{\nu ,\mu }a_{\nu }a_{\mu }(x_{\nu }-x_{\mu })^{2}.$

In dieser Summe reduciren sich alle diejenigen Glieder auf Null, für welche $\nu =\mu$ ist. Mann kann den Factor ${\tfrac {1}{2}}$ weglassen, wenn man dafür die Summe über alle Paare von einander verschiedener Zahlen $\nu ,\mu$ aus der Reihe $1,2,\ldots n$ erstreckt und dabei jedes Zahlenpaar nur einmal nimmt.

Schließlich findet man also

$\sum a_{\nu }\varphi (x_{\nu })-\varphi (\sigma )\cdot \sum a_{\nu }={\tfrac {1}{2}}{\mathfrak {M}}{\frac {\sum a_{\nu }a_{\mu }(x_{\nu }-x_{\mu })^{2}}{\sum a_{\nu }}},$

wo ${\mathfrak {M}}$ einen Mittelwerth bedeutet aus den Werthen des zweiten Differentialquotienten $\varphi ''(x)$, und die Summe im Zähler rechts in der angegebenen Weise aufzufassen ist. Dabei ist

$\sigma ={\frac {\sum a_{\nu }x_{\nu }}{\sum a_{\nu }}}.$

5.

Dieses Resultat kann auch aus der Restformel der Taylor’schen Reihe abgeleitet werden. Es ist

$\varphi (x_{\nu })=\varphi (\sigma )+(x_{\nu }-\sigma )\varphi '(\sigma )+{\tfrac {1}{2}}(x_{\nu }-\sigma )^{2}{\mathfrak {M}}_{\nu },$

wo ${\mathfrak {M}}_{\nu }$ einen Mittelwerth aus den Werthen der Function $\varphi ''(x)$ im Intervall $\sigma \ldots x_{\nu }$ bedeutet. Multiplicirt man mit $a_{\nu }$ und summirt man von $\nu =1$ bis $\nu =n$, so ergiebt sich

$\sum a_{\nu }\varphi (x_{\nu })=\varphi (\sigma )\sum a_{\nu }+\varphi '(\sigma )\sum a_{\nu }(x_{\nu }-\sigma )+{\tfrac {1}{2}}\sum {\mathfrak {M}}_{\nu }a_{\nu }(x_{\nu }-\sigma )^{2}.$

Empfohlene Zitierweise:
Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 42. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/5&oldid=- (Version vom 1.8.2018)