Seite:Otto Hölder Ueber einen Mittelwerthssatz 1889.pdf/7

	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

$\Delta V={\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}$

für die Kreisfläche. Unter der Annahme, daß die Function $V$ mit ihren ersten und zweiten Differentialquotienten stetig sei, läßt die genannte Relation sich aus dem Green’schen Satz ableiten.

7.

Es mögen jetzt in der Grundformel für $\varphi (x)$ die einfachsten Functionen eingesetzt werden. Zunächst sei

$\varphi (x)=x^{m},$

wo $m$ eine beliebige reelle Größe bedeuten soll. Es ist $\varphi ''(x)>0,$ wenn $m>1$ oder $m<0$ ist, und $\varphi ''(x)<0,$ wenn $0<m<1$ ist; dabei soll das Argument $x$ auf positive Werthe beschränkt werden. Man findet nun

$\left(\sum a_{\nu }\right)^{m-1}\cdot \sum a_{\nu }x_{\nu }^{m}>\left(\sum a_{\nu }x_{\nu }\right)^{m},$

falls $m>1$ oder $m<0$ ist. Nimmt man an, daß

$1<m<2$

ist, so erhält man für den Exponenten $m-1$ die Ungleichung

$\left(\sum a_{\nu }\right)^{m-2}\cdot \sum a_{\nu }x_{\nu }^{m-1}<\left(\sum a_{\nu }x_{\nu }\right)^{m-1}.$

Durch Combination der beiden letzten Relationen ergiebt sich

$\sum a_{\nu }\cdot \sum a_{\nu }x_{\nu }^{m}>\sum a_{\nu }x_{\nu }^{m-1}\cdot \sum a_{\nu }x_{\nu }.$

Setzt man zur Abkürzung

$\sum a_{\nu }x_{\nu }^{m}=\tau _{m},$

so kann man die gewonnenen Ungleichungen in die Formen

$\tau _{0}^{m-1}\tau _{m}>\tau _{1}^{m}$

und

$\tau _{0}\tau _{m}>\tau _{m-1}\tau _{1}$

setzen. Da man nun in den Formeln $a_{\nu }$ durch $a_{\nu }x_{\nu }^{k}$ und $x_{\nu }$ durch $x_{\nu }^{\tau }$ ersetzen kann, so muß es gestattet sein, in jeder der letzten Ungleichungen die Indices der Größen $\tau$ sämmtlich um eine und dieselbe Größe zu vermehren oder zu vermindern, oder diese Indices sämmtlich mit derselben Größe zu multipliciren. Dadurch gewinnt man unmittelbar die von Herrn Rogers aufgestellten Ungleichungen § 3 (1), (2) und § 1 (3), (5).

8.

Setzt man $\varphi (x)=e^{x},$ so erhält man

Empfohlene Zitierweise:
Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 44. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/7&oldid=- (Version vom 1.8.2018)