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	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

${\frac {a_{1}e^{x_{1}}+a_{2}e^{x_{2}}+\cdots +a_{n}e^{x_{n}}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}}>e{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}},$

^{[WS 1]}

oder, wenn

$e^{x_{\nu }}=y_{\nu }$

gesetzt wird,

$\left({\frac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots +a_{n}y_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}}\right)^{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}>y_{1}^{a_{1}}\cdot y_{2}^{a_{2}}\cdot \cdots y_{n}^{a_{n}}.$

Dies ist der Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel in seiner allgemeinsten Gestalt, wie ihn Herr Rogers zum Ausgangspunkt wählt, § 1 (1).

Setzt man $\varphi (x)=\log x,$ so ergiebt sich, indem man sich auf positive Argumente beschränkt

$\log {\frac {\sum a_{\nu }x_{\nu }}{\sum a_{\nu }}}>{\frac {\sum a_{\nu }\log x_{\nu }}{\sum a_{\nu }}},$

Vgl. a. a. O. § 4.

Falls an Stelle von $\varphi (x)$ die Function $x\log x$ genommen wird, und die Größen

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$

gesetzt werden, so erhält man wieder für positive Argumente

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\log {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\frac {1}{n}}\left\{x_{1}\log x_{1}+x_{2}\log x_{2}+\cdots +x_{n}\log x_{n}\right\},$

oder, wenn man die Logarithmen fortschafft,

$\left({\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\right)^{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}<x_{1}^{x_{1}}\cdot x_{2}^{x_{2}}\cdot \cdots x_{n}^{x_{n}},$

^{[WS 2]}

Vergl. a. a. O. § 1 (2).

9.

Für die trigonometrischen Functionen ergeben sich folgende Resultate:

${\frac {a_{1}\sin x_{1}+a_{2}\sin x_{2}+\cdots +a_{n}\sin x_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}}<\sin {\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}},$

vorausgesetzt, daß

$0<x_{\nu }<\pi .$

Liegen die Größen $x$ alle im Intervall $\pi \ldots 2\pi$ so hat man an Stelle des Zeichens $<$ das Zeichen $>$ zu nehmen. Ebenso findet man

Anmerkungen (Wikisource)

1. "+" im letzten Nenner ergänzt
2. links im Exponent Index bei $x_{n}$ ergänzt.

Empfohlene Zitierweise:
Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 45. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/8&oldid=- (Version vom 1.8.2018)