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	Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903)

Wir berechnen nun das Integral:

$\int \int \int {\frac {dv}{8\pi }}({\mathfrak {EA}})=\int \int \int {\frac {dv}{8\pi }}\{{\mathfrak {E}}_{x}{\mathfrak {A}}_{x}+{\mathfrak {E}}_{y}{\mathfrak {A}}_{y}+{\mathfrak {E}}_{z}{\mathfrak {A}}_{z}\}$.

Nach (IIg), und da

${\frac {\partial }{\partial t}}=-q{\frac {\partial }{\partial x}}$

zu setzen ist, wird

${\mathfrak {E}}_{x}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+\beta {\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{x}}{\partial x}},\ {\mathfrak {E}}_{y}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+\beta {\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{y}}{\partial x}}$,

${\mathfrak {E}}_{z}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}+\beta {\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{z}}{\partial x}}$.

Aus dem obigen folgt nun aber sofort, daß

${\mathfrak {A}}_{x}\cdot {\frac {\partial \Phi }{\partial x}},\ {\mathfrak {A}}_{x}\cdot {\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{x}}{\partial x}},\ {\mathfrak {A}}_{y}\cdot {\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{y}}{\partial x}},\ {\mathfrak {A}}_{z}\cdot {\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{z}}{\partial x}}$ antisymmetrisch zur (yz)-Ebene,

${\mathfrak {A}}_{y}\cdot {\frac {\partial \Phi }{\partial y}}$ antisymmetrisch zur (xz)-Ebene,

${\mathfrak {A}}_{z}\cdot {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}$ antisymmetrisch zur (xy)-Ebene.

Addiert man die Beiträge, welche acht durch Spiegelung an der Koordinatenebenen auseinander entstandene Volumenelemente zu dem Integrale liefern, so erhält man als Summe Null. Es folgt das Verschwinden des Integrals

(20e)

$\int \int \int {\frac {dv}{8\pi }}({\mathfrak {EA}})=0$.

Jetzt ergibt die Gleichung (9d) als Ausdruck der Lagrangeschen Funktion

(21)	$L=W_{m}-W_{e}=-\int \int \int {\frac {dv\varrho \varphi }{2}}$.

Dieselbe gilt also nicht nur für reine Translation einer beliebig verteilten Ladung [vgl. (12 a)], sondern auch für die anderen betrachteten ausgezeichneten Bewegungen des Elektrons. Aus (21), (20d) und (9c) folgt weiter:

(21a)

$\int \int \int {\frac {dv}{8\pi }}\cdot ({\mathfrak {HH}}')=0$.

Daher werden die rechten Seiten von (9b), (9c) gleich, und wir erhalten

(21b)

$L=({\mathfrak {qG}})+(\vartheta {\mathfrak {M}})-W$

Für reine Translation war ${\mathfrak {H}}'=0$, mithin (21a) gültig; (21b) war in (10g), (10h) enthalten.

Empfohlene Zitierweise:
Max Abraham: Prinzipien der Dynamik des Elektrons (1903). Johann Ambrosius Barth, Leipzig 1903, Seite 164. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Prinzipien_der_Dynamik_des_Elektrons_(1903).djvu/60&oldid=- (Version vom 1.8.2018)