Seite:RiemannPrim1859.djvu/5

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Bezeichnet man durch jede Wurzel der Gleichung , so kann man durch

ausdrücken; denn da die Dichtigkeit der Wurzeln von der Größe mit nur wie wächst, so convergirt dieser Ausdruck und wird für ein unendliches nur unendlich wie ; er unterscheidet sich also von um eine Function von , die für ein endliches stetig und endlich bleibt und mit dividirt für ein unendliches unendlich klein wird. Dieser Unterschied ist folglich eine Constante, deren Werth durch Einsetzung von bestimmt werden kann.

Mit diesen Hülfsmitteln läßt sich nun die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als sind, bestimmen.

Es sei , wenn nicht gerade einer Primzahl gleich ist, gleich dieser Anzahl, wenn aber eine Primzahl ist, um größer, so daß für ein , bei welchem sich sprungweise ändert,

Ersetzt man nun in

durch , durch ,

so erhält man

,

wenn man

durch bezeichnet.

Diese Gleichung ist gültig für jeden complexen Werth von , wenn . Wenn aber in diesem Umfange die Gleichung

Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 675. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/5&oldid=2638300 (Version vom 4.5.2016)