Seite:RiemannPrim1859.djvu/6

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gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier’schen Satzes die Function durch die Function ausdrücken. Die Gleichung zerfällt, wenn reell ist und

in die beiden folgenden:

Wenn man beide Gleichungen mit multiplicirt und von bis integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier’schen Satze , also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit multiplicirt

,

worin die Integration so auszuführen ist, daß der reelle Theil von constant bleibt.

Das Integral stellt für einen Werth von , bei welchem eine sprungweise Änderung der Function stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function zu beiden Seiten des Sprunges dar. Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein

.

Für kann man nun den früher gefundenen Ausdruck

[1]

substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann in’s Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweckmäßig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in


  1. Das Manuskript (S. 4) und die Gesammelten Werke (S. 141) fügen vor dem zweitletzten Logarithmus noch ein ein. In den Monatsberichten fehlt das Summenzeichen:
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 676. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/6&oldid=2638301 (Version vom 4.5.2016)