Seite:RiemannPrim1859.djvu/8

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Im ersten Falle bestimmt sich die Integrationsconstante, wenn man den reellen Theil von negativ unendlich werden läßt; im zweiten Falle erhält das Integral von 0 bis um verschiedene Werthe, je nachdem die Integration durch complexe Werthe mit positiven oder negativen Arcus geschieht, und wird, auf jenem Wege genommen, unendlich klein, wenn der Coefficient von in dem Werthe von positiv unendlich wird, auf letzterem aber, wenn dieser Coefficient negativ unendlich wird. Hieraus ergiebt sich, wie auf der linken Seite zu bestimmen ist, damit die Integrationsconstante wegfällt.

Durch Einsetzung dieser Werthe in den Ausdruck für erhält man

[1]

wenn in für sämmtliche positiven (oder einen positiven reellen Theil enthaltenden) Wurzeln der Gleichung , ihrer Größe nach geordnet, gesetzt werden. Es läßt sich, mit Hülfe einer genaueren Discussion der Function , leicht zeigen, daß bei dieser Anordnung der Werth der Reihe

mit dem Grenzwerth, gegen welchen

  1. Riemann schreibt fälschlich anstelle von . Da er für die Bezeichnung einer anderen Funktion verwendet, bedeutet sein eigentlich . Dieser Fehler wurde zu Lebzeiten Riemanns entdeckt von Angelo Genocchi (1817–1889): Formole per determinare quanti siano i numeri primi fino ad un dato limite. In: Annali di Matematica Pura ed Applicata 3 (1860), S. 52-59. (Digitalisat, italienisch) Vgl. Harold M. Edwards: Riemann's Zeta Function. New York: Academic Press, 1974, S. 31.
Empfohlene Zitierweise:

Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 678. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/8&oldid=2638303 (Version vom 4.5.2016)