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	Johann Georg von Soldner: Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht.

${\frac {ddx\ \cos \phi +ddy\ \sin \phi }{dt^{2}}}=-{\frac {2g}{r^{2}}}$. (IV)

Um in diesen Gleichungen die Zahl der veränderlichen Größen zu verringern, wollen wir $x$ und $y$ durch $r$ und $\phi$ ausdrücken. Man sieht leicht, daß

$x=r\ \cos \phi$ und $y=r\ \sin \phi$.

Differenziirt man, so wird man erhalten:

$dx=\cos \phi \ dr-r\sin \phi \ d\phi$, und $dy=\sin \phi \ dr+r\cos \phi \ d\phi$.

Und wenn man noch einmal differenziirt,

$ddx=\cos \phi \ ddr-2\sin \phi \ d\phi \ dr-r\ \sin \phi \ dd\phi -r\ \cos \phi \ d\phi ^{2}$,

und

$ddy=\sin \phi \ ddr+2\cos \phi \ d\phi \ dr+r\ \cos \phi \ dd\phi -r\ \sin \phi \ d\phi ^{2}$.

Substituirt man diese Werthe für $ddx$ und $ddy$ in den obigen Gleichungen, so erhält man aus (III):

${\frac {ddy\ \cos \phi -ddx\ \sin \phi }{dt^{2}}}={\frac {2d\phi \ dr+r\ dd\phi }{dt^{2}}}$.

Also hat man

${\frac {2d\phi \ dr+r\ dd\phi }{dt^{2}}}=0$. (V)

Und ferner aus (IV),

${\frac {ddr-r\ d\phi ^{2}}{dt^{2}}}=-{\frac {2g}{r^{2}}}$. (VI)

Um die Gleichung (V) zur wirklichen Differenzialgröße zu machen, multiplicire man sie mit $rdt$, so wird:

${\frac {2r\ d\phi \ dr+r^{2}\ dd\phi }{dt}}=0$,

und wenn man wiederum integrirt, wird man erhalten:

$r^{2}d\phi =C\ dt$,

wo $C$ eine willkürliche beständige Größe ist. Um dieses $C$ zu bestimmen, bemerke man, daß $r^{2}d\phi (=r~rd\phi )$ gleich ist: der doppelten Fläche des kleinen Dreyeckes, welches der Radiusvektor $r$ in der Zeit $dt$ beschrieben hat. Die doppelte Fläche des während der ersten Zeitsekunde beschriebenen Dreyecks ist aber: $=\mathrm {AC} .v$; also hat man $C=\mathrm {AC} ~v$. Und wenn man den Halbmesser $\mathrm {AC}$ des anziehenden Körpers für die Einheit annimmt, was wir in der Folge immer thun werden,

Empfohlene Zitierweise:
Johann Georg von Soldner: Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht.. C. F. E. Späthen, 1804, Seite 164. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_die_Ablenkung_eines_Lichtstrals_von_seiner_geradlinigen_Bewegung.djvu/4&oldid=- (Version vom 11.4.2017)