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	Johann Georg von Soldner: Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht.

$r+\left[{\frac {v^{2}-2g}{2g}}\right]r\ \cos \phi ={\frac {v^{2}}{2g}}$. (VIII)

Aus dieser endlichen Gleichung zwischen $r$ und $\phi$ läßt sich die krumme Linie bestimmen. Um aber dieses bequemer zu bewerkstelligen, wollen wir die Gleichung wieder auf Koordinaten zurückführen. Es sey (Fig. 3) $\mathrm {AP} =x$ und $\mathrm {MP} =y$, so hat man:

${\begin{aligned}x&=1-r\ \cos \phi {,}\\y&=r\ \sin \phi \\{\text{und}}\ r&={\sqrt {(1-x)^{2}+y^{2}}}.\end{aligned}}$

Setzt man diese Werthe in die Gleichung (VIII), so findet man:

$y^{2}={\frac {v^{2}\left(v^{2}-4g\right)}{4g^{2}}}\left[1-x\right]^{2}-{\frac {v^{2}\left(v^{2}-2g\right)}{2g^{2}}}\left[1-x\right]+{\frac {v^{2}}{4g^{2}}}$,

und wenn man alles gehörig entwickelt,

$y^{2}={\frac {v^{2}}{g}}x+{\frac {v^{2}\left(v^{2}-4g\right)}{4g^{2}}}x^{2}$. (IX)

Da diese Gleichung vom zweyten Grade ist, so ist die krumme Linie ein Kegelschnitt, der nun näher untersucht werden kann.

Wenn $p$ der Parameter und $a$ die halbe Hauptaxe, so ist, wenn man die Abscisse vom Vertex an rechnet, die allgemeine Gleichung für alle Kegelschnitte:

$y^{2}=px+{\frac {p}{2a}}x^{2}$.

Diese Gleichung enthält die Eigenschaften der Parabel, wenn der Koefficient von $x^{2}$ Null; der Ellipse, wenn er negativ und der Hyperbel, wenn er positiv ist. Das letztere ist in unserer Gleichung (IX) offenbar der Fall. Denn da für alle uns bekannte Weltkörper $4g$ kleiner ist, als $v^{2}$, so muß der Koefficient von $x^{2}$ positiv seyn.

Wenn also ein Lichtstral an einem Weltkörper vorbeigeht, so wird er durch die Attraktion desselben genötigt, anstatt in der geraden Richtung fortzugehen, eine Hyperbel zu beschreiben, deren konkave Seite gegen den anziehenden Körper gerichtet ist.

Die Bedingungen, unter welchen der Lichtstral einen andern Kegelschnitt beschreiben würde, sind nun auch leicht zu

Empfohlene Zitierweise:
Johann Georg von Soldner: Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht.. C. F. E. Späthen, 1804, Seite 167. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Ueber_die_Ablenkung_eines_Lichtstrals_von_seiner_geradlinigen_Bewegung.djvu/7&oldid=- (Version vom 11.4.2017)