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	Benedict Zuckermann: Das Mathematische im Talmud

Da a positiv ist und x reell sein soll, so kann ${\tfrac {8a}{3}}$ nicht grösser als 64 sein, denn sonst würde der Werth des x imaginär. Wenn ${\tfrac {8a}{3}}$ nun nicht grösser als 64 ist, so ist ${\tfrac {a}{3}}$ nicht grösser als 8 und a nicht grösser als 24. Der grösste Raum, den diese Bepflanzungsform für a liefert, ist daher 24 Quadrathandbreiten. Ist aber a = 24, so ist x = ${\tfrac {8\pm 0}{2}}$ = 4. Diesen Werth des x in y = ${\tfrac {6-x}{2}}$ substituirt, giebt y = 1. Man erhält also die Form wie Fig. VI, in welcher durch die auf einander senkrecht gezogenen Linien das Quadrat ABCD, dessen Seite 6 Handbreiten lang ist, in 36 Quadrate, deren jede Seite eine Handbreite lang ist, getheilt wird, worin 24 solcher Quadrate, also zwei Drittel des ganzen Beetes, bepflanzt sind. Diese Form giebt auch Maimonides an, ohne zu zeigen, wie er sie gefunden hat.

Für den zweiten Fall in der eben betrachteten Mischna erhält man eine Form wie Fig. VII, in welcher ABCD ein quadratisches Beet, dessen Seite 6 Handbreiten lang ist, und das Quadrat EFGH weniger dem Quadrate ABCD die umgebende Bodenerhöhung darstellt. Hier sind auf der oberen Fläche der Erhöhung zwölf Quadrathandbreiten in bestimmter Entfernung mit zwölf verschiedenen Saaten bepflanzt, je drei auf jeder Erhöhung der vier Seiten des Beetes, und auf dem Beete selbst eine Art, die 18 Quadrathandbreiten bedeckt; in Summa sind 30 Quadrathandbreiten = ${\tfrac {15}{32}}$ des Ganzen bepflanzt, da die Fläche des Ganzen hier 64 Quadrathandbreiten beträgt. Um R. Jehuda's Angabe zu genügen, erhält man eine Form wie Fig. VIII, in welcher 12 Arten auf der Erhöhung, wie in Fig. VII, und 6 Arten auf dem Beete gepflanzt sind. Jede dieser 6 Arten bedeckt einen Rhombus, der hier, wie bekannt, 3 Quadrathandbreiten beträgt, da er in einem rechtwinkligen Parallelogramm von 6 Quadrathandbreiten Flächeninhalt eingezeichnet ist. Im Ganzen sind also ebenfalls 30 Quadrathandbreiten = ${\tfrac {15}{32}}$ des Ganzen bepflanzt^[1]. Mit denselben Rechnungsmitteln

↑ Bei der zuletzt erwähnten Form des R. Jehuda tritt die Frage auf, ob je zwei parallelliegende Rhomben die nöthige Entfernung von $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten von einander haben, ob z. B. in Fig. IX, in welcher beispielshalber vier der besäeten Rhomben gezeichnet sind, CD von EF nicht weniger als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten von einander entfernt sind. Sowohl Maimonides als der ihn hier commentirende Heller haben irrthümlicher Weise DF die Seite des Rhombus für die Entfernung der beiden gegenüberliegenden Rhomben A und B von einander angesehen und haben mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes diese Seite als ${\sqrt {1^{2}+(1{\tfrac {1}{2}})^{2}}}={\sqrt {1+{\tfrac {9}{4}}}}={\sqrt {\tfrac {13}{4}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {13}}$ ungefähr = $1{\tfrac {4}{5}}$ Handbreiten, also grösser als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten angegeben. Die wahre Entfernung dieser beiden Rhomben ist aber die Senkrechte DG, welche trigonometrisch durch DF sin DFG ausgedrückt ist, wo Winkel DFG = α einen spitzen Winkel des Rhombus bezeichnet. Der Winkel α lässt sich leicht bestimmen. Der Rhombus ist hier, wie in Fig. X, in ein Rechteck, dessen angrenzende Seiten 2 und 3 Handbreiten betragen, eingezeichnet. Es ist daher Winkel α = 180° − 2β und tg β = ${\frac {1{\tfrac {1}{2}}}{1}}={\tfrac {3}{2}}$ also Winkel β = 56°13'36'' und Winkel α = 180° − 2β = 180° − 112°37'12'' = 67°22'48'', mithin DG = DF sin α = ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {13}}$ sin 57°22'48'' = 1,6641… grösser als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten. Maimonides' Annahme der Entfernung ist zwar falsch, die von ihm angegebene Bepflanzungsform im Sinne des R. Jehuda bleibt dennoch richtig, weil auch DG die wahre Entfernung der beiden Rhomben, wie eben nachgewiesen, grösser als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten ist.

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Benedict Zuckermann: Das Mathematische im Talmud. Breslau: , 1878, Seite 16. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zuckermann_Mathematisches_im_Talmud_28.jpg&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] Bei der zuletzt erwähnten Form des R. Jehuda tritt die Frage auf, ob je zwei parallelliegende Rhomben die nöthige Entfernung von $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten von einander haben, ob z. B. in Fig. IX, in welcher beispielshalber vier der besäeten Rhomben gezeichnet sind, CD von EF nicht weniger als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten von einander entfernt sind. Sowohl Maimonides als der ihn hier commentirende Heller haben irrthümlicher Weise DF die Seite des Rhombus für die Entfernung der beiden gegenüberliegenden Rhomben A und B von einander angesehen und haben mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes diese Seite als ${\sqrt {1^{2}+(1{\tfrac {1}{2}})^{2}}}={\sqrt {1+{\tfrac {9}{4}}}}={\sqrt {\tfrac {13}{4}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {13}}$ ungefähr = $1{\tfrac {4}{5}}$ Handbreiten, also grösser als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten angegeben. Die wahre Entfernung dieser beiden Rhomben ist aber die Senkrechte DG, welche trigonometrisch durch DF sin DFG ausgedrückt ist, wo Winkel DFG = α einen spitzen Winkel des Rhombus bezeichnet. Der Winkel α lässt sich leicht bestimmen. Der Rhombus ist hier, wie in Fig. X, in ein Rechteck, dessen angrenzende Seiten 2 und 3 Handbreiten betragen, eingezeichnet. Es ist daher Winkel α = 180° − 2β und tg β = ${\frac {1{\tfrac {1}{2}}}{1}}={\tfrac {3}{2}}$ also Winkel β = 56°13'36'' und Winkel α = 180° − 2β = 180° − 112°37'12'' = 67°22'48'', mithin DG = DF sin α = ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {13}}$ sin 57°22'48'' = 1,6641… grösser als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten. Maimonides' Annahme der Entfernung ist zwar falsch, die von ihm angegebene Bepflanzungsform im Sinne des R. Jehuda bleibt dennoch richtig, weil auch DG die wahre Entfernung der beiden Rhomben, wie eben nachgewiesen, grösser als $1{\tfrac {1}{2}}$ Handbreiten ist.

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