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	Benedict Zuckermann: Das Mathematische im Talmud

d) das Verhältniss der 4 Rechtecke des Migrasch zu den 4 Winkelquadraten.

     Es ist nämlich    (VI) V = ${\tfrac {4n}{16}}={\tfrac {n}{4}}$.

Hier ist also V für jedes beliebige n der vierte Theil desselben.

     Ferner: Zur Beurtheilung der eben aufgestellten Verhältnisse für den Fall, dass die Stadt und ihr Migrasch kreisförmig sind, beschreibe man in Fig. XXVIII einen Kreis in das Quadrat ABDE und einen Kreis in das Quadrat FGHK. Dann ist nach Seite 12

Inhalt des Stadtkreises = ${\tfrac {3}{4}}$n²,

Inhalt des Migraschkreises = ${\tfrac {3}{4}}$(n + 2)²,

also das Verhältniss dieses Kreises weniger dem Stadtkreise zum Quadrate LMNP, oder:

${\begin{alignedat}{1}V={\frac {{\tfrac {3}{4}}(n+2)^{2}+{\tfrac {3}{4}}n^{2}}{n^{2}+8n+16}}&={\frac {3(n+1)}{n^{2}+8n+16}}.\\{\text{Hieraus folgt}}\ Vn^{2}+8Vn+16V&=3n+3\\n^{2}+{\frac {(8V-3)n}{V}}&={\frac {3-16V}{V}}\end{alignedat}}$ ${\begin{alignedat}{1}n&=-{\frac {8V-3}{2V}}\pm {\sqrt {{\frac {3-16V}{V}}+\left({\frac {8V-3}{2V}}\right)^{2}}}\\n&={\frac {3-8V\pm 3{\sqrt {1-4V}}}{2V}}.\end{alignedat}}$

     Da n reell und positiv ist, so kann V nicht grösser als ${\tfrac {1}{4}}$ sein, weil sonst n imaginär würde. Für V = ${\tfrac {1}{4}}$ ist

(VII) n = 2.

Genauer ist der Inhalt der kreisförmigen Stadt $={\tfrac {n^{2}\pi }{4}}$, der Inhalt des zugehörigen Migrasch $={\tfrac {(n+2)^{2}\pi }{4}}$, also

$V={\frac {{\tfrac {(n+2)^{2}\pi }{4}}-{\frac {n^{2}\pi }{4}}}{n^{2}+8n+16}}={\frac {\pi (n+1)}{n^{2}+8n+16}}.$

     Diese Gleichung aufgelöst giebt

$n={\frac {\pi -8V\pm {\sqrt {\pi (\pi -12V)}}}{2V}}.$

Empfohlene Zitierweise:
Benedict Zuckermann: Das Mathematische im Talmud. Breslau: , 1878, Seite 37. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zuckermann_Mathematisches_im_Talmud_49.jpg&oldid=- (Version vom 1.8.2018)