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	Emil Cohn: Zur Elektrodynamik bewegter Systeme II

Wir multipliciren nun I′ mit $\mathrm {M}$, II′ mit $\mathrm {E}$ und addiren; dann kommt:

$-\Gamma (\Sigma )-(\Lambda \cdot \mathrm {E} )=\left(\mathrm {E} \cdot {\frac {\overline {d{\mathfrak {E}}}}{dt}}\right)+\left(\mathrm {M} \cdot {\frac {\overline {d{\mathfrak {M}}}}{dt}}\right),\qquad \qquad$

oder nach (13):

$\qquad \qquad =\left(\mathrm {E} \cdot {\frac {d'{\mathfrak {E}}}{dt}}\right)+\left(\mathrm {M} \cdot {\frac {d'{\mathfrak {M}}}{dt}}\right)+(\mathrm {E} \cdot {\mathfrak {E}}_{def})+(\mathrm {M} \cdot {\mathfrak {M}}_{def})$.

(20)

Von der Änderung, welche $\varepsilon$ und $\mu$ durch die Deformationen erleiden, sehen wir ab, setzen also ${\frac {d\varepsilon }{dt}}={\frac {d\mu }{dt}}=0$; dann wird nach III:

$\left(\mathrm {E} \cdot {\frac {d'{\mathfrak {E}}}{dt}}\right)+\left(\mathrm {M} \cdot {\frac {d'{\mathfrak {M}}}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {1}{2}}(\varepsilon \mathrm {E} ^{2}+u\mathrm {M} ^{2})\right\}+2\left(\Sigma \cdot {\frac {d'u}{dt}}\right)+\left({\frac {d'\Sigma }{dt}}\cdot u\right)$,

oder nach V:

$={\frac {dw}{dt}}-\left(u\cdot {\frac {d'\Sigma }{dt}}\right)$.

(21)

Ferner ist nach (16)

${\begin{aligned}(\mathrm {E} \cdot {\mathfrak {E}}_{def})+(\mathrm {M} \cdot {\mathfrak {M}}_{def})&={\bigl (}(\mathrm {E} \cdot {\mathfrak {E}})+(\mathrm {M} \cdot {\mathfrak {M}}){\bigr )}\Gamma (u)+(\mathrm {E} \cdot {\mathfrak {E}}_{\delta })+\mathrm {M} \cdot {\mathfrak {M}}_{\delta })\\&=w\Gamma (u)+{\tfrac {1}{2}}(\varepsilon \mathrm {E} ^{2}+\mu \mathrm {M} ^{2})\Gamma (u)+\varepsilon (\mathrm {E} \cdot \mathrm {E} _{\delta })\\&\qquad \qquad +\mu (\mathrm {M} \cdot \mathrm {M} _{\delta })-(\mathrm {E} \cdot [u\mathrm {M} ]_{\delta })+(\mathrm {M} \cdot [u\mathrm {E} ]_{\delta }).\end{aligned}}$

(22)

Endlich ergibt sich aus (17), indem man nach den Componenten von $u$ ordnet:

$-(\mathrm {E} \cdot [u\mathrm {M} ]_{\delta })+(\mathrm {M} \cdot [u\mathrm {E} ]_{\delta })=-(u\cdot \Sigma _{def})=-\left(u\cdot {\frac {\overline {d\Sigma }}{dt}}\right)+\left(u\cdot {\frac {d'\Sigma }{dt}}\right)$.

(23)

(21), (22), (23) führen wir in (20) ein, und bezeichnen durch $\tau$ ein materielles Volumelement, so dass also

${\frac {dw}{dt}}+w\Gamma (u)={\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}(w\cdot \tau )$

ist. Dann kommt:

$-{\frac {1}{\tau }}{\frac {d(w\tau )}{dt}}=\Gamma (\Sigma )+(\Lambda \cdot \mathrm {E} )+A$,

(24)

wo

$A=-\left(u\cdot {\frac {\overline {d\Sigma }}{dt}}\right)+{\frac {1}{2}}(\varepsilon \mathrm {E} ^{2}+\mu \mathrm {M} ^{2})\Gamma (u)-{\underset {i,k}{S}}\left\{(\varepsilon \mathrm {E} _{i}\mathrm {E} _{k}+\mu \mathrm {M} _{i}\mathrm {M} _{k}){\frac {\partial u_{i}}{\partial k}}\right\}\qquad \textstyle \left.{i \atop k}\right\}=x,y,z$.

(25)

In (24) ist, jedesmal für die Einheit der Zeit und des materiellen Volumens berechnet, die linke Seite die Abnahme der elektromagnetischen Energie, das erste Glied der rechten Seite die Ausstrahlung, das zweite die abgegebene chemisch-thermische Energie, $A$ daher die abgegebene Arbeit.

Empfohlene Zitierweise:
Emil Cohn: Zur Elektrodynamik bewegter Systeme II. Verlag der Akademie (Georg Reimer), Berlin 1904, Seite 1413. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Zur_Elektrodynamik_bewegter_Systeme_II.djvu/10&oldid=- (Version vom 20.10.2019)